《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第九章 含变化率的方程问题——微分方程浅说 9-2 特殊类型微分方程的解法——初等积分法

第二节特殊类型微分方程的解法一初等积分法主要内容：一、分离变量法二、可化为变量分离方程的方程三、一阶线性微分方程

主要内容: 一、分离变量法 二、可化为变量分离方程的方程 三、一阶线性微分方程 第二节 特殊类型微分方程的解法 初等积分法

dyf()dxX齐次微分方程变量代换dyp(x)y= 0= h(x)g(y)变量分离+dx阶线性齐次方程I变量分离方程常数变易业p(x)y=q(x)十一阶线性非齐次方程

d d ( ) y y f x x = 齐次微分方程 d d ( ) 0 y p x y x + = 一阶线性齐次方程 d d ( ) ( ) y p x y q x x + = 一阶线性非齐次方程 变量代换 变量分离 常数变易 ( ) ( ) d d f x g y x y = d d ( ) ( ) y h x g y x = 变量分离方程

一、分离变量法dy形如h(x)g(y)的方程称为变量可分离方程dx方程右端是只含x的函数与只含v的函数的乘积。解法设函数g(y)和h(x)是连续的，且g(y)≠0,dy= h(x)dx,方程两端同时积分g(y)dyh(x)dx, G(y)= H(x)+C.g(y)将一个方程化为变量可分离方程并求出其通解的过程，称为分离变量法

一、分离变量法 形如： dy = 的方程称为变量可分离方程. 方程右端是只含x的函数与只含y的函数的乘积. h x( ) g y( ) 解法 d ( ) , d ( ) y h x x g y = 方程两端同时积分 d ( ) , d ( ) y h x x g y  =  G y H x C ( ) ( ) . = + 将一个方程化为变量可分离方程并求出其 通解的过程，称为分离变量法. dx d d ( ) ( ) y h x g y x = 设函数g y h x g y ( ) ( ) ( ) 0, 和 是连续的，且 

典型例题dy业=2xy的通解例1求微分方程dx提示与分析：将微分方程变量分离，两边积分y-2xy的通解dy解= 2xy,Udxdj2xdx,兴司6010In y|= x2 + C1J=±e+*+Gi-·e，.通解为y=CeC

例1 求微分方程 d 的通解 d 2 . y xy x = 解 分离变量 dy 2 , x xd 两端积分 y = 2 1 ln , y x C = + e e 2 1 , C x =   典型例题 e 2 1 x C y + =  提示与分析: 将微分方程变量分离，两边积分.   d 2 , y = x 反解y C 通解为 e 2 . x  =y C C = 2 C = 1 C = −1 C = −2 dx y d d 2 , y xy x =

dyx例2dx求初值问题2y(0) = 1.提示与分析：将微分方程变量分离，两边积分求出通解，再代入初值条件确定特解dyx解dx0.5ydy = -xdx.?-0.5222+C卜2215150.5又y(0) = 1, :. C = 1,通解为x2+y2=C,综上，初值问题的特解为x2+y2=1

例2 d 求初值问题 d , (0) 1. y x x y y   = −    = 提示与分析: 将微分方程变量分离，两边积 分求出通解，再代入初值条件确定特解. 解 分离变量 y y x x d d = − , 两端积分 2 2 1 1 1 , 2 2 y x C = − + 2 2 1  + = x y C2   d d , y x x y = − C 通解为 2 2  + = x y C. 2  2 2 通解为0 1 又y(0) 1, = 2 2  + = x y C,  = C 1, 综上，初值问题的特解为 2 2 x y + = 1. C = 0.5 C = 2 C = 1

例3求方程x(y2-1)dx +y(x2-1)dy =0的通解提示与分析：变量分离，两边积分求出通解解 x(y2 -1)dx + y(x2 -1)dy = 0,分离变量Vxdx-1XA1C=-213d(x2-1) :22D2-2-3(x2 -1)(y2 -1)-45综上，通解为-223-304

例3 求方程x y x y x y ( 1) ( 1) 0 . 2 2 − + − = d d 的通解 提示与分析: 变量分离，两边积分求出通解. 解 分离变量 2 2 d d , 两端积分 1 1 x y x y x y = − − − 2 2 1 1 1 ln 1 ln 1 , 2 2 x y C − = − − +   d d 2 2 x y x y x y ( 1) ( 1) 0, − + − = 凑微分 e 1 2 2 2 ( 1)( 1) , C x y − − =  d d 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1), 2 1 2 1 x y x y − = − − 2 − − x −1 2 x −1 2 y −1 2 y −1 C 综上，通解为 2 2 ( 1)( 1) . x y C − − = C = −2

放射性元素的自发衰减问题例4 研究表明，放射性物质镭的质量随时间而衰减，其衰减速度与镭的存余量成正比.设时间t=t,时，镭的质量是Rs,求镭在任意时刻的质量R(t).50提示与分析：衰减40=3C=230解C=120dR(t): -aR(t)C=0.510dt0-10C=-2R(t) = Ro,-20C=-1-30C = -0.5初值问题-40R(t) = C. ε50-0.20.20.40.8-0.8-0.6-0.400.6

例 4 研究表明，放射性物质镭的质量随时间而 衰减，其衰减速度与镭的存余量成正比.设时 间 时，镭的质量是 ，求镭在任意时刻 的 质量 0 0 ( ). t t R t R t = 提示与分析:衰减速度为质量关于时间的负导数. 放射性元素的自发衰减问题 解 = −R t( ), dR t( ) dt0 0 R t R ( ) ,    = 初值问题 变量分离 1 ln ( ) R t t C = − +  e e1 ( ) , C t R t − = C  d ( ) , ( ) R t dt R t = −    反解R(t) ( ) . e t R t C −  = C = 2 C = 1 C = 0.5 C = −2 C = −0.5 C = −1  = 3

R(f)=Ce-nt,又R(t) = Ro,.. C= R,e综上，初值问题的特解为R(t)= R,e-a(t-t)

R t C RR t C ( )( ) 0 == ee −−ttt ，0 又R t R ( ) 0 0 = ， e 0 0 t C R   = 综上，初值问题的特解为 e 0 ( ) 0 ( ) . t t R t R − −  =

还有很多的现象，其变化规律都可以用上述函数模型来描述.如：细菌繁殖、森林增长、放射性物质衰减（14C衰减可用来测定遗体死亡年代）、冷却模型（可在刑事侦查中用来鉴定死亡时间）

还有很多的现象，其变化规律都可 以用上述函数模型来描述.如：细菌繁 殖、森林增长、放射性物质衰减（14C 衰减可用来测定遗体死亡年代）、冷 却模型（可在刑事侦查中用来鉴定死 亡时间）

可化为变量分离的方程类型I形如的方程,其中a,b是常数f(z)dz.dy则令z = ax + by,矛盾转化法=a+bdxdxdz.方程化为=a+bf(z)变量分离dx方程变量分离dz= dx.积分可求出通解a + bf(z)

二、可化为变量分离的方程 类型I d d ( ) y f ax by x 形如： = + 的方程，其中a b, . 是常数 矛盾转化法 令z ax by = + ， ax by + d d d d z y a b x x 则 = + ， d d y x d d y x 方程化为 d d ( ) . z a bf z x = + 变量分离 方程 d d . ( ) z x a bf z = + 变量分离 f z( )f z( ) 积分可求出通解