《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第一章 行列式 1-3 n阶行列式的定义

行列式第三节n阶行列式的定义概念的引入二、n阶行列式的定义三、小结思考题

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH概念的引入一、三阶行列式aa13ai2D== aia2a33 +aia23a31 +aia2a2a21a23a22(131a32a33— a122a31 -a1a23a32 12a21a33说明（1）三阶行列式共有6项，即3！项(2）4每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积页回下质

一、概念的引入 三阶行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = 11 22 33 12 23 31 13 21 32 = a a a + a a a + a a a 13 22 31 11 23 32 12 21 33 − a a a − a a a − a a a 说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列例如列标排列的逆序数为aazras2偶排列+正号t(312)= 1+1= 2,a.aa32列标排列的逆序数为奇排列 一负号,(132)= 1 + 0 = 1,a11 a12a1321 a22a23-E(-1)'aipa2p,a3p3a31a3233上页回下页

（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 13 21 32 a a a 列标排列的逆序数为 t(312) = 1+1 = 2, 11 23 32 a a a 列标排列的逆序数为 t(132) = 1+ 0 = 1, 偶排列 奇排列 + 正号 −负号, ( 1) . 1 1 2 2 3 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3  =  − p p p t a a a a a a a a a a a a

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、n阶行列式的定义定义由n2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和E(-1)aip.a2p.amp.anla12aina21a22a2n记作D=amnanlan2简记作det(a）．数a称为行列式det(a,）的元素页回下页

二、n阶行列式的定义 n n nn n n p p np t a a a a a a a a a D a a a n n n n        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 ( 1) . 1 2 =  − 记 作 的代数和 取自不同行不同列的 个元素的乘积 定义 由 个数组成的 阶行列式等于所有 det( ). 简记作 aij 数 aij 称为行列式det(aij)的元素．

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH其中 p,P,… P,为自然数 1,2,…，n的一个排列,为这个排列的逆序数an1a12aina21a22a2n.D=anlman2E(-1)(np P.lapa2pnpPiP2"--Pn上页下页回

为这个排列的逆序数． 其 中 为自然数 ， ， 的一个排列， t p1 p2pn 1 2  n ( ) ( ) n n n p p np p p p t p p p n n nn n n a a a a a a a a a a a a D        1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =  − 1 =

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n阶行列式是n！项的代数和：3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积：4、一阶行列式α=a不要与绝对值记号相混淆5、aip,^2p.-amp，的符号为（-1)2回顶下页

说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 个元素的乘积; n n 4、 一阶行列式 a = a 不要与绝对值记号相混淆; 5、 a1 p1 a2 p2 anpn 的符号为 ( 1) . t −

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例1计算对角行列式1福2福福00TO解分析展开式中项的一般形式是aip,a2p,asp,asps若 Pi ± 4→αp=0,， 所以 Pi只能等于4,从而这个项为零， 同理可得 P2 =3,P3 =2,P4 =1顶回下质

例1 计算对角行列式 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 分析 展开式中项的一般形式是 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4 a a a a 若 p1  4 0, 1 1  a p = 从而这个项为零， 所以 1 只能等于 , p 4 同理可得 p2 = 3, p3 = 2, p4 = 1 解

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH即行列式中不为零的项为a14a2332a4120福-(-1)(4321)1.2. 3 4 = 24.03100aila12ain0a22a2n例2计算上三角行列式7nn页国下质

4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 1 2 3 4 4321 = −    t = 24. 即行列式中不为零的项为 a a a a . 14 23 32 41 例2 计算上三角行列式 nn n n a a a a a a     0 0 0 22 2 11 12 1

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH解分析展开式中项的一般形式是aip,a2p..anp.Pn = n, Pn-1 = n-1, Pn-3 = n-3,..-P2 = 2,Pi = 1,所以不为零的项只有a1α22amnala12ain052a2n=(-1)(12 "a.a..:a22nn= aia22-. ann上页下页发回

分析 展开式中项的一般形式是 . 1 p1 2 p2 npn a a a p n, n = 1, pn−1 = n − 3, 2, 1, pn−3 = n −  p2 = p1 = 所以不为零的项只有 . 11 22 nn a a a nn n n a a a a a a     0 0 0 22 2 11 12 1  ( ) ( ) nn t n a a a  11 22 12 = −1 . 11 22 nn = a a a 解

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例3D2D: aa2a33a=1.4.5.8 = 160.2206-页国下质

例3 ? 0 0 0 8 0 0 5 6 0 4 2 1 1 2 3 4 D = = 11 22 33 44 0 0 0 8 0 0 5 6 0 4 2 1 1 2 3 4 D = = a a a a = 1 4  5  8 = 160