《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第八章 处理线性关系的数学问题——线性代数概述 8-3 应用广泛的数表——矩阵

第三节应用广泛的数表一一矩阵主要内容：矩阵的概念与运算逆矩阵矩阵的应用

第三节 应用广泛的数表 矩阵 主要内容： 一、矩阵的概念与运算 二、逆矩阵 三、矩阵的应用

矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利i提出并形成矩阵代数这一系统理论的.但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的《九章算术》中，在《九章算术》方程一章中，就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状.在欧洲，运用这种方法来解线性方程组，比我国要晚2000多年

矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯 利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的. 但 是追根溯源，矩阵最早出现在我国的《九章算 术》中，在《九章算术》方程一章中，就提出 了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成 一个长方形的形状. 在欧洲，运用这种方法来解 线性方程组，比我国要晚2000多年

矩阵的概念与运算1、矩阵概念的引入及定义aixi+aix+...+ainxn=ba21Xi +a22X2+..+a2nXn+b,线性方程组bani+anX+..+amn,=nnn的解取决于系数a,(i,j =1,2,.",n)b,(i=1,2,.,n常数项

线性方程组 的解取决于 b (i , , ,n) 常数项 i = 1 2  1、矩阵概念的引入及定义 一、矩阵的概念与运算 a (i, j 1,2, ,n), 系数 ij =  11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + = 

线性方程组的系数与常数项按原位置可排为对线性方au X, +aiz X, +...ain x, = bi.程组的研究a21X,+a2X,+...a2nX, =b,可转化为对这张表的研究.anXi +an.X,+.....a..x, = b1

11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n n n nn n a a a b a a a b a a a b             对线性方 程组的研究 可转化为对 这张表的研 究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 1 2 n n nn a a a 12 22 n2 a a a 11 21 n1 a a a 1 2 n b b b

定义(矩阵）由mxn个数（元素）a(i=1,2,..,m;j=1,2,..",n排成的 m行 n 列的数表，称为 m行n列矩阵，也称为mXn矩阵al211na2)a2222nA=aaamlm2mn简记为 A=Aamxnmxn矩阵的第行第例元素

定义 （矩阵） 由 个数（元素） 排成的 m行 n 列的数表 m n a (i m j n) ij = 1,2,  , ; = 1,2,  , m×n矩阵. 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       简记为 ( ) . m n m ij n A A a = =   矩阵的第i 行第j列元素 , 称为 m行n列矩阵，也称为

530如：是一个2×4矩阵364-90613是一个3×3矩阵2222223阶方阵，行数=列数一→方阵n阶方阵A=(ai)构成的行列式,记作detA12是一个3×1矩阵N

如： 1 0 3 5 9 6 4 3       − 是一个 24 矩阵, 13 6 0 2 2 2 2 2 2           是一个 33 矩阵, 1 2 4           是一个 31 矩阵. 3 阶方阵,行数=列数 方阵 n阶方阵A=(aij)构成的行列式,记作detA

注意：矩阵与行列式有本质的区列，行刻式是一个数，它的行数和刻数租等.而矩阵仅是一个数表，它的行数和刻数可以不后同

注意： 矩阵与行列式有本质的区别，行 列式是一个数，它的行数和列数相 等.而矩阵仅是一个数表，它的行数 和列数可以不同

用消元法解线性方程组所施行的初等变azJ等变换.a2a21两行交换如：a21aa22定义iz」换(1)交换矩阵的两行；(2)用非零数乘以矩阵某一行的每一个元素；-20-20-2×第二行如：-8-3-16￥2(3)用数乘矩阵某一行每个元素后加到另一00-2-22x第二行十第三行33如：11155-1

定义 下述三种变换称为矩阵的行初等变换 （1）交换矩阵的两行； （2 ; ）用非零数乘以矩阵某一行的每一个元素 用消元法解线性方程组所施行的初等变 换移植到矩阵，就得到矩阵的初等变换. 3 . （ ）用数乘矩阵某一行每个元素后加到另一 行对应的元素上 11 12 21 22 21 22 11 12 a a a a a a a a         ⎯⎯⎯⎯→     如： 两行交换 2 1 0 2 1 0 2 : 3 4 1 6 8 2 − − −          ⎯⎯⎯⎯→     − − − 如 第二行 2 2 0 2 0 : 1 3 1 3 5 1 7 5  +     − −         ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→         − 如 第二行 第三行

2、矩阵的运算定义 (加法)设有两个mxn矩阵A=(a;),B=(b,),A与 B 的和记作A+B.对应元素相加a + baliz + b12b.a+-1 l22 + b22+b2zna2i + b21-A+B:.·+b+b+b.a.amarm2mlmlm2mnmn说明：只有当两个矩阵的行数、列数分别相等时，才能进行加法运算

对应元素相加 2、矩阵的运算 定义（加法） 设有两个 矩阵 A与 B 的和记作A+ B . mn ( ), ( ), A a B b = = ij ij 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b   + + +   + + +   + =       + + + 说明: 只有当两个矩阵的行数、列数分 别相等时，才能进行加法运算

9例1-58123141-9056+68332112 +1-5+93+81+6-9 + 50 +43+36 + 28+1[134117-4 4=869

例1 13 11 4 7 4 4 . 6 8 9     = −       12 1 3 8 5 9 1 6 9 5 0 4 3 3 6 2 8 1   + + − +   = + − + +       + + + 12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1     −     − +            