《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第七章 偶然中蕴含必然的问题——概率统计初步 7-5 随机现象离散程度的描述——方差

第五节随机现象离散程度的描述一方差主要内容：方差的概念=标准差的概念方差的性质

第五节 主要内容： 一、 方差的概念 二、 标准差的概念 三、 方差的性质 随机现象离散程度的描述 方差

一、方差的概念先看几个例子：(1）A、B两个学生及其连续两次考试成绩成绩成绩1成绩2学生A、B的平均4080A成绩均为60分B6555由表中看到：学生A成绩忽上忽下，学生B成绩较稳定

一、方差的概念 先看几个例子: (1) A、B 两个学生及其连续两次考试成绩 由表中看到: 学生 A 成绩忽 上忽下，学生 B 成绩较稳定 A 、B 的平均 成绩均为60分 成绩1 成绩2 A 40 80 B 65 55 学生 成绩

(2)有两组学生（每组3人）一次数学考试成绩甲组6080100甲乙两组的平均成绩均为80分乙组798081甲组乙组80608010079181平均分平均分甲组成绩相对分散乙组成绩相对集中通过这两个例子可以发现：仅通过平均值来反映一组数据的特征是不够的，还应该考虑这组数据相对平均值的离散程度

甲组 60 80 100 乙组 79 80 81 (2) 有两组学生(每组3人)一次数学考试成绩 甲组成绩相对分散 乙组成绩相对集中 甲乙两组的平均 成绩均为80分 通过这两个例子可以发现:仅通过平均值来 反映一组数据的特征是不够的,还应该考虑这 组数据相对平均值的离散程度. 60 80 100 平均分 甲组 80 79 81 平均分 乙组

(3)有两个随机变量，2．它们的概率分布如下：5i0.1- 0.1ESi = 00.50.5p00.1-0.15210- 10E5,=00.50.5p-10010,与,有相同的期望值，但它们的取值与期望值的离差一E相差很大

1 0.1 －0.1 p 0.5 0.5 2 10 －10 p 0.5 0.5 1 E = 0 − 0.1 0 0.1 • • • − 10 0 10 • • • (3) 有两个随机变量 1，  2，它们的概率分布如下： 2 E = 02   1与 2有相同的期望值，但它们的取值与 期望值的离差 － E  相差很大

设为随机变量,称E（-E)2为的方差定义记为 D = E(-E)2注：1)为了消除离差的随机性和正、负相抵取离差平方的均值为三的方差，2)为使D与单位一致，将D开平方得到标准差，记作DS.计算方差的一个简化公式:D=E2－(E)2D=E -E)2-E2-2 (E )+(E ) 2]-E(2)一2E()2+E()2E(2)-E()

定义 设 为随机变量,称E( -E ) 2为 的方差. 记为 D = E( -E ) 2 计算方差的一个简化公式:D = E 2 －(E ) 2 D = E( －E  ) 2 =E[ 2－2  (E  )+(E  ) 2 ] =E( 2 )－2E( ) 2+E( ) 2 注：1)为了消除离差的随机性和正、负相抵， 取离差平方的均值为 的方差. 2)为使D与单位一致，将D开平方得到 标准差，记作 D . =E( 2 )－E( ) 2

D=E( -E)5120.1- 0.10.010.010.50.50.50.5ppES, = 0,0.1-0.10DS = E( -0) = E52,的取值比较集中，方差较小=0.01×0.5×2=(0.01,5232?10- 101001000.50.50.50.5ppE52 = 0,010-10D5, = E5?方差较大52的取值比较分散，100=100×0.5×2=相差10000倍

ξ1 0.1 －0.1 p 0.5 0.5 ξ2 10 －10 p 0.5 0.5 1 2 2 1 1 1 0, ( 0) 0.01 0. 2 5 0.01 E D E E = = − = =   =     2 2 2 2 0, 100 0 5. 2 100 E D E = = =   =    − 0.1 0 0.1 • • • − 10 0 10 • • • 相差10000倍. ξ1 2 0.01 0.01 p 0.5 0.5 ξ2 2 100 100 p 0.5 0.5  1的取值比较集中，方差较小 D = E(  －E) 2  2的取值比较分散，方差较大 0.01， 100

D=E( -E)2由定义知，方差是随机变量的函数g()=( 一E )的数学期望.为离散型，P(=x)=Pi88ZE()=E()=xf(x)dxi=15为连续型8E(x; -E:)P,E~f(x)D() =i=1[ (x -E:)(x)dx.随机变量的方差是正数

 为连续型，  ~ f (x) 为离散型， P( =x)=pi 由定义知，方差是随机变量  的函数 g( )=( －E  ) 2的数学期望 . 2 1 2 ( ) , ( ) ( ) ( ) . i i i x E p D x E f x dx  =  −  −  =   −       随机变量  的方差是正数. 1 ( ) i i i E x p  =  =  E x f x dx ( ) ( )  − =   D = E(  －E) 2

例1在产品质量管理中，有两台车床生产出的零件尺寸分别记为弓，弓，其概率分布分别为5i10111213140.20.10.20.40.1p;5211121310140.20.30.20.150.15P;试对两台车床生产的零件的质量进行评判

在产品质量管理中,有两台车床生产出 的零件尺寸分别记为1 , 2 , 其概率分布 分别为 例1 试对两台车床生产的零件的质量进行评判． 0.1 0.2 0.4  10 11 12 1 pi 13 14 0.2 0.1 0.15 0.2 0.3  10 11 12 2 pi 13 14 0.2 0.15

解4×0.14 × 0.15规定进一样.十小火生HJS川D5= (19012) 19.1 +(12-12)30.2 +42-12) 0.4(.1 12)6:22 +84- 102 0 5.2D5, = (10 -12)2 - 0.15 + (11-12)2 - 0.2 + (12 - 12)2 . 0.3E2 + (1B0- 12)110.2 +24 - 113 . 0.164- 1.6PS1.2说明第.命车床加的零件与平均值接近，故产品质量较好

2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 (10 12) 0.1 (11 12) 0.2 (12 12) 0.4 (13 12) 0.2 (14 12) 0.1 1.2 (10 12) 0.15 (11 12) 0.2 (12 12) 0.3 (13 12) 0.2 (14 12) 0.15 1.6 D D = −  + −  + −  + −  + −  = = −  + −  + −  + −  + −  =   解 E 1  = 10 0.1 11 0.2 12 0.4 13 0.2 14 0.1 12  +  +  +  +  = E 2  = 10 0.15 11 0.2 12 0.3 13 0.2 14 0.15 12  +  +  +  +  = 期望值相等表明两台车床都是按国家规定进 行生产的，但并不能说明两台车床质量一样． 0.1 0.2 0.4  10 11 12 1 pi 13 14 0.2 0.1 0.15 0.2 0.3  10 11 12 2 pi 13 14 D 0.2 0.15 １< D2 说明第一台车床加工的零件与平均 值接近，故产品质量较好

二项分布的方差：若~B (n,p),则 D= npq正态分布的方差：方若5~N(四，则D=。差期望f(x)值0=0.7g=1g=2X0对正态分布，当期望值u固定时，方差越小，概率密度曲线越陡峭；否则，越平缓

二项分布的方差: 若～B (n, p), 则 D npq  = . 2 ( , )   正态分布的方差: 若～N ，则 2 D = . o x f x( ) 1 2 0.7  =   = = 期望 值 方 差 对正态分布，当期望值μ固定时，方差越小，概率 密度曲线越陡峭；否则，越平缓