《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第六章 求总量的问题——定积分 6-1 特殊和式的极限—定积分的概念

第六章求总量的问题一定积分

第六章 求总量的问题——定积分

第一节特殊和式的极限一一定积分的概念主要内容：定积分概念的两个现实原型二、，定积分的概念三、可积条件四、定积分的性质

第一节 特殊和式的极限—定积分的概念 主要内容： 一、定积分概念的两个现实原型 二、定积分的概念 三、可积条件 四、定积分的性质

定积分的起源积分思想出现在求面积、体积等问题中，在古中国、古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献中都有涉及这类问题的思想和方法（公元前287一前212）用如：古希腊的阿基米德边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积，称为“穷竭法

定积分的起源 积分思想出现在求面积、体积等问题中，在古中 国、古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献中 都有涉及这类问题的思想和方法. 如：古希腊的阿基米德（公元前287―前212）用 边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积，称为 “穷竭法

（公元中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》263年）中，对于计算圆面积提出了著名的“割圆术”，他解释说：“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”这些都是原始的积分思想0.0.80.60.60.40.0.20.2F-0.2-0.2-0.4-0.4-0.6-0.6-0.8-0.8N-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.80-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81

中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》（公元 263年）中，对于计算圆面积提出了著名的“割圆 术”，他解释说：“割之弥细，所失弥少.割之又 割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.” 这些都是原始的积分思想

16世纪以后，欧洲数学家们仍沿用阿基米德的方法求面积、体积等问题，并不断加以改进，天文学家兼数学家开普勒的工作是这方面的典型.他注意到，酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确，他努力探求计算体积的正确方法，写成《测量酒桶体积的新科学》一书，他的方法的精华就是用无穷多小元素之和来计算曲边形的面积或体积

16世纪以后，欧洲数学家们仍沿用阿基米德的方 法求面积、体积等问题，并不断加以改进.天文学 家兼数学家开普勒的工作是这方面的典型.他注意 到，酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确，他努 力探求计算体积的正确方法，写成《测量酒桶体积 的新科学》一书，他的方法的精华就是用无穷多小 元素之和来计算曲边形的面积或体积

抽象定积分概念的两个现实原型原型I（求曲边梯形的面积）曲边梯形由连续曲线y=_f(x)(f(x)≥0);x轴与两直线x=,x=b所围成Vy= f(x)A2olabx

a b x y o A = ? 原型Ⅰ （求曲边梯形的面积） 一、抽象定积分概念的两个现实原型 y = f (x) 曲边梯形由连续曲线 轴与两直线 , 所围成. y f x f x ( )( ( ) 0), x x a x b =  = =

考察下列图形由哪些曲边围成y = sinxT11X=Tx=0A-10.52.53101.5y=0T32.5y= 21.5Ax=0x=2xV0.5E元素法22.51.50.5702

考察下列图形由哪些曲边围成. A 2 0 2 2 x y = 0 y = 0 A y x = sin x = 0 面积怎么求？ 元素法 x = 2 π x =π π y = 2 x = 0

曲边梯形的面积的解决思路利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可的步骤概括“分割-取近似-求和-取极限”第一步分割;将曲边梯形的底，即[a,bl进行分割（用垂直于x轴的直线).记x,=X;-Xi-1：,y=f(xax xX,-1 x,xn-i bX

利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可 概括“分割-取近似-求和-取极限” 的步骤. 将曲边梯形的底，即[a ,b]进行分割(用垂直于x 轴的直线). 第一步 分割； 曲边梯形的面积的解决思路： a b x y o y = f (x) i x 1 x x2 xi−1 xn−1 记 1 . i i i x x x  = − −

第二步取近似;取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积典型小区域面积ASy= f(x)一-高f(S)号xn-1 baxixX,-底X;xAx;用矩形面积近似AS, = f(5,)Ax;小曲边梯形面积

取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积. 第二步 取近似； a b x y o y = f (x) 用矩形面积近似 小曲边梯形面积 ( )i f  高 x1 x2 xi−1 底 xi xn−1 i x 典型小区域面积 Si i  ( ) . S f x i i i  =  

第三步求和;将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来矩形面积和与曲边梯形面积不相等y= f(x)有误差GXEX,-1 5X,Sin1 hXZAS, =Zf(5)Ax, .i=1i=1

a b x y o y = f (x) i x x1 i−1 x n−1 x 2 x 第三步 求和； i  矩形面积和与曲边梯 形面积不相等 有误差 1  2  n 1  − n  1 1 ( ) . n n i i i i i S f x  = =    =  将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所 有的小矩形面积加起来