《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分 3-3 局部改变量的估值问题微分及其运算

第三节局部改变量的估值问题微分及其运算主要内容：、微分、微分公式和法则三、微分在近似计算中的应用

第三节 局部改变量的估值问题 微分及其运算 主要内容： 一、微分 三、微分在近似计算中的应用 二、微分公式和法则

、微分1.微分概念实例：正方形铁皮受热后面积的改变量Ar)设边长由x.变到x。+△x，AxC面积函数 A(x)= x2AX:. △A = A(x, + △x) - A(x)Xo= (x, +x)2 -x)= 2x。 : △x +(△x)(1)(2)

2 A x 0 0 = 设边长由x x x 0 0 变到 +  , 0 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) A A x x A x x x x   = +  − = +  − 2 ( ) . 2 = x0  x + x x x x 0 x0x 一、微分 1.微分概念 实例:正方形铁皮受热后面积的改变量 2 面积函数 A x x ( ) = x0 x0 x 2 (x) ( ) 1 ( ) 2

A = 2x。 · △x +(△x)22x.·Ax(1)(2)1△x的线性函数,且为△A的主要部分称为线性主部；(Ar)2(2)△x的高阶无穷小,当△x|很小时可忽略.(Ax)2因为lim lim △x = 0.ArAr-→0Ar-→>0所以(△x)? = 0(△x)即△x的高阶无穷小

2) , . (   x x 的高阶无穷小 当 很小时可 忽略 所以 2 ( ) ( ).  =  x o x (1)   x A 的线性函数,且为 的主要部分， 称为线性主部； 2 0 0 ( ) lim lim 0, x x x x  →  → x  =  =  因为 2 ( ) x 0 2x x   即x的高阶无穷小 2 ( ) . 2 = x0  x + x ( ) 1 ( ) 2 A

例1设函数 =x3在点x.处的改变量为△x时求函数的改变量△yAy =(x, +Ax)3 - x= 3x . △x +3x, :(△x)2 +(△x)3(1)(2)无穷线性主部3x, :(△x)2 +(△x)lim小AxAr-→>0= lim[3x, · △x +(△x)] = 0Ar→0.:. 3x, (△x)2 +(△x)3 = 0(△x)

3 0 1 , . y x x x y =   例 设 函 数 在 点 处 的 改变量为 时 求 函 数 的 改变量 3 3 0 0  = +  − y x x x ( ) 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0  x + x  x + x (1) (2) 2 3 0 0 3 ( ) ( ) limx x x x  → x   +   2 0 0 lim[3 ( ) ] . 0 x x x x  → =   +  = 2 3 0    +  =  3 ( ) ( ) ( ). x x x o x 线性主部 无穷小

定义设函数y=f(x)在点x处有增量△x,如果的增量△y可写为Ay = A Ax + 0 (An)其中是与无关的常数,A·△x为△y的线性主部是^x的高阶无穷小则称函数=f(x)在点x 可微，并称A·△x为y= f(x)在点x 处的微分,记作dy或df(x)即 dy= df(x) = A△x.于是有Ay一+

, , , A x y x     其中 是与 无关的常数 为 的线性主部 是 的高阶无穷小 ( ) , ( ) y f x x x y y y A x o x =    =   +  设函数 在点 处有增 量 如果 的增量 可写为 定义 即 d d y f x A x = =  ( ) . 于是有 = +  y y o x d ( ). ( ) , ( ) , . ( ) y f x x A x y f x x y f x =   = 则称函数 在点 可微 并称 为 在点 处的微分 记作d 或d A x o x ( )  + dy o (Δx)

Ay-dy+oAx)dy-AAx关于定义的几点说明：(1）dy是自变量的改变量△x的线性函数;(2）Ay－dy=o(△r)是比△x高阶的无穷小;(3）当A≠0时,dy与Ay是等价无穷小;AyA. △x +o(x)o(Ar)dyA.xA.△xAyo(△x)：当△x →0时lim>1ArAr-→>0dy(4） A是与△x无关的常数,但与f(x)和x,有关;

0 ( ) lim 0 x o x  → x  =  关于定义的几点说明： (1) ; dy x 是自变量的改变量 的线性函数 (2) ( ) ; d  − =   y y o x x 是比 高阶的无穷小 (3) 0 , ; 当A y y   时 d 与 是等价无穷小 ( ) ( ) 1 , y A x o x o x y A x A x    +  = = + d     当 时， d 0 . 1 y y x   →  → dy A x =   = +  y y o x d ( ) （4 , ( ) ; ）A x f x x 是与 无关的常数 但与 和 0 有关

(5当|△x|很小时,Ay~dy(线性主部).AyA△x +0(△x)o(△r)因为A+AxAxAx所以当△x→0时，对上式两端取极限得Ayf'(x) AjimAr->0 △x也就是说dy = f'(x)Ar

(5) , ( ). 当   x y y 很小时  d 线性主部 因为 ( ) ( ) , y A x o x o x A x x x   +   = = +    所以当 →x 0时，对上式两端取极限得 0 lim . x y A  → x  =  f x ( ) 也就是说 dy f x x =  ( )

下面我们来求y=x的微分dx =dy = f'(x)Ax = x'△x = Ardydy = f'(x) Arf(xdx函数的微分dy与自变量的微分dx的商等于该函数的导数函数的可导与可微是等价的

下面我们来求y x = 的微分 d d ( ) y f x x =  函数的可导与可微是等价的. 函数的微分d 与自变量的微分 d 的商等于该函数的导数. y x dx =dy f x x x x x =  =  =    ( ) dy f x = ( ) dx x

2.微分的几何意义V几何意义：（如图）Z当△y是曲线的[0(Ar)PAydy纵坐标增量时，dyMy= f(x)Ar就是切线纵坐标α对应的增量0xox+Arx当x很小时，在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN

几何意义:(如图) , . y y d 当 是 的 纵坐标增量时 就是 纵坐标 对应 曲 切线 的增量 线 , M MN , . x MP  切线 当 很小时 在点 的附近 段 可近似代替曲线段 2. 微分的几何意义 0 x x +  P y = f (x) x0 M N T dy y o(x) ） x y o  x

V导数与微分的区别N1. 函数f(x)在点x,处的AydyMA导数是一个定数f(x)y=f(x)Ar而微分dy=f'(x）a0xXo x.+Ar是x一x,的线性函数，dy=f'(x)dx台dy=f'(x)Ar: lim dy = lim f'(x.)(x -x) = 0.x-→xox-→xo2.从几何意义上来看，f(x）是曲线y=f(x)在点(xo,f(x）)处切线的斜率,而微分dy = f'(x,)(x-x,)是曲线 y= f(x)在点(xo,f(x,)处的切线方程在点x的纵坐标增量

d 0 0 0 0 lim lim ( )( ) 0. x x x x y f x x x → → = − =  导数与微分的区别 0 0 0 0 0 1. ( ) ( ), ( )( ) . f x x f x y f x x x x x  = −  − 函数 在点 处的 导数是一个定数 而微分d 是 的线性函数 d d d y f x x y f x x =  =    ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2. , ( ) ( ) ( , ( )) , ( )( ) ( ) ( , ( )) . f x y f x x f x y f x x x y f x x f x x  = = − =  从几何意义上来看 是曲线 在点 处切线的斜率 而微分 是曲线 在点 处的切线方程在点 的纵坐标增量 d 0 x x +  P y = f (x) x0 M N T dy y ） x y o  x  x