《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第四章 导数的应用问题——洛必达法则、函数的性质和图像 4-3 用导数研究函数的性质——单调性、极值和最大最小值

第三节用导数研究函数的性质一单调性、极值和最大最小值主要内容：函数的单调性函数的极值二、三、函数的最大值和最小值

第三节 用导数研究函数的性质 单调性、极值和最大最小值 主要内容: 一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最大值和最小值

本节将以导数为工具，讨论函数的单调性、给出寻找函数的极值、极值点与最值的的方法，这个方法既简便又具有一般性

本节将以导数为工具，讨论函数 的单调性、给出寻找函数的极值、 极值点与最值的的方法，这个方法 既简便又具有一般性

函数的单调性函数的单调性与导数符号之间的关系：观察右图Vf(x)α是锐角aα上 tanα≥0升锐角= f'(x)≥0.寸x函数f(x)单调增加，f(x)≥0

一、函数的单调性 函数的单调性与导数符号之间的关系: 观察右图 y o x y f x = ( )  上 锐角 升 是锐角 tan 0 f x( ) 0.        函数f x f x ( ) ( ) 0. 单调增加，  

下面我们来看另外一种情况：观察右图下α是钝角降y= f(x) tanα≤0钝角=→ f'(x)≤0.adx函数f(x)单调减少，f(x)≤0

y o x y f x = ( )  下 是钝角 降 tan 0 f x( ) 0.        函数f x f x ( ) ( ) 0. 单调减少，   下面我们来看另外一种情况: 钝角 观察右图

导数符号的几何意义：对于某区间上的函数f(x),导数为正，曲线上升；导数为零，曲线不升不降(水平曲线);导数为负，曲线下降Vy= f(x)y= f(x))y= f(x)?00x0xxf(x)≥0f'(x)≤0f'(x)= 0

导数符号的几何意义： x y o y = f (x) f x ( ) 0  x y o y = f (x) f x ( ) 0  y = f (x) f x ( ) 0 = x y o ( ), ( ) . 对于某区间上的函数 导数为正，曲线 上升；导数为零，曲线不升不降 水平曲线 ； 导数为负，曲线下降 f x

定理设函数f(x)在区间(a,b)内可导，则函数f(x)在区间(a,b)内单调增加(单调减少)的充分必要条件是：f(x)≥0(f(x)≤ 0),xE(a,b),而f(x)=0只在个别点处成立注意：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 0( ( ) 0), ( , ), ( ) 0 . f x a b f x a b f x f x x a b f x       = 设函数 在区间 内可导，则函数 在区间 内单调增 单调 的 充分必要条件是： 而 只在个别点 少 理 加 减 处成立 定 注意:函数的单调性是一个区间上的性质， 要用导数在这一区间上的符号来判定，而不 能用一点处的导数符号来判别一个区间上的 单调性．

例1 证明函数y=x-ln(1+x2)是单调增加的提示与分析：单调增加f'(x) ≥ 0.证y=x-ln(1+x2)D = (00, +80)1(1-x)2≥0.y'=[x-In(1+x)}= 12x1+x21+x?所以函数y=x-ln(1+x2)是单调增加的

例1 ln(1 ) . 证明函数y x x = − + 2 是单调增加的 提示与分析： 单调增加 f x ( ) 0.  证 2 y x x = − + ln(1 ), D = − + ( , ). 2 y x x   = − + [ ln(1 )] 2 1 1 2 1 x x = −  + 2 2 (1 ) 1 x x − = +  0. 所以函数y x x = − + ln(1 ) . 2 是单调增加的

例1 证明函数y=x-In(1+x2)是单调增加的,-32516349102

例1 ln(1 ) . 证明函数y x x = − + 2 是单调增加的

例2讨论函数y=e*-x-的单调性解 ： y' = e* -1, D = (-80,+0):在(-80,0)内,y0,函数单调增加

例2 1 . 讨论函数y x = − − e x 的单调性 解 y D  = − = − + e x 1 ( , ). ，  − 在( ,0) , 0  内 y   ，函数单调减少； 在(0, ) , 0 . + 内 y   ，函数单调增加

例2 讨论函数y=e-x-1的单调性1816y=e*-x-11412上升10下降单调区间-2023-1函数在整个定义域内不是单调的，但在子区间上单调。如何求函数的单调区间？

例2 1 . 讨论函数y x = − − e x 的单调性 e 1 x y x = − − 函数在整个定义域内不是单调的，但在子区间 上单调． 单调区间 如何求函数的单调区间？ 下降 上升