《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）数学抽象

数学抽象数学思想方法简介

数 学 抽 象 数学思想方法简介

1.何谓数学抽象何谓抽象，是指舍弃事物的个别的、非本质的属性，抽取出本质属性的过程和方法数学抽象，是一种特殊抽象，是仅仅从事物的量的属性进行抽取的抽象

1.何谓数学抽象 何谓抽象,是指舍弃事物的个别的、非本 质的属性,抽取出本质属性的过程和方法. 数学抽象,是一种特殊抽象,是仅仅从 事物的量的属性进行抽取的抽象

2.数学抽象的特点（1）数学抽象内容的量的特定性仅仅从量的方面抽取，即只着眼于事物存在的数量关系和空间形式.有别于其他科学(2）数学抽象方法的逻辑建构性凭借明确的定义和推理，逻辑建构的，例“圆”是在“点”、“距离”、“轨迹”等概念及“相等”等关系的基础上,明确“定义”逻辑地构建出来的（3）数学抽象程度的高度性A.多层次抽象：B.远离现实模型

例“圆”是在“点”、“距离”、“轨迹” 等概念及“相等”等关系的基础上,明确“定义” 逻辑地构建出来的. 2.数学抽象的特点 （1）数学抽象内容的量的特定性. （2）数学抽象方法的逻辑建构性. （3）数学抽象程度的高度性. 仅仅从量的方面抽取,即只着眼于事物存在的 数量关系和空间形式.有别于其他科学. 凭借明确的定义和推理，逻辑建构的. A.多层次抽象;B.远离现实模型

3数学抽象的两个具体方法(1)强抽象从事物具有的若干属性中，强化或者添加某些属性的抽象称为强抽象例组对边两组对边对角相等对边相等平行平行正方形矩形梯形任意四边形平行四边形强抽象是扩大内涵缩小外延的抽象，是从一般到特殊的抽象

3.数学抽象的两个具体方法 （1）强抽象 从事物具有的若干属性中,强化或者添加某些属 性的抽象称为强抽象. 一组对边 平行 两组对边 平行 对角相等 对边相等 强抽象是扩大内涵缩小外延的抽象,是 从一般到特殊的抽象. 任意四边形 梯形 平行四边形 矩形 正方形

(2)弱抽象从事物的若干属性中减弱或去掉某些属性的抽象称为弱抽象，无三角相等限制等边两角/相等三角形任意等腰主角形三角形弱抽象是缩小内涵，扩大外延的抽象是从特殊到一般的抽象

(2)弱抽象 从事物的若干属性中减弱或去掉某些属性的 抽象称为弱抽象. 弱抽象是缩小内涵,扩大外延的抽象, 是从特殊到一般的抽象. 等边 三角形 任意 等腰 三角形 三角形

4.例谈例1 函数概念的形成和发展过程是一系列弱抽象的过程，艮即由特殊到一般的过程早期的函数概念（代数函数）18世纪的函数概念（解析函数）19世纪的函数减弱代数运算概念（变量函数）近代函数去掉解析表达概念式的要求(映射）去掉数集

4.例谈 例1 函数概念的形成和发展过程是一系列弱 抽象的过程，即由特殊到一般的过程. 早期的函数 概 念 （代数函数） 18世纪的函数 概 念 （解析函数） 19世纪的函数 概 念 （变量函数） 近代函数 概 念 （映射） 减弱代数运算 去掉解析表达 式的要求 去掉数集

但在微积分的表述过程中，函数概念又表现为一系列强抽象的过程添加添加函数连续函数可微函数连续性可微性

但在微积分的表述过程中,函数概念 又表现为一系列强抽象的过程. 函数 添加 连续函数 可微函数 连续性 添加 可微性

例2.导数概念是高度抽象的结果一级抽象求直线运动物体的瞬时速度级亚抽象时间t,路程s = f(t),t E[a,b];二级亚抽象△t = t -to,△s = f(t) - f(to),t, E[a,blAs三级亚抽象平均速度，=AtAs四级亚抽象瞬时速度，=limAt->0 △t

例2.导数概念是高度抽象的结果 一级抽象 求直线运动物体的瞬时速度 一级亚抽象 时间t s f t t a b ，路程 =  ( ), [ , ]； 四级亚抽象 瞬时速度，0 0 lim . t s v t  →  =  二级亚抽象  = −  = −  t t t s f t f t t a b 0 0 0 ， ( ) ( ), [ , ]； s v t  =  三级亚抽象 平均速度， ；

例2.导数概念是高度抽象的结果曲线的二级抽象：求物体直线运动的瞬时速度、斜率以及电流的强度等概念进行抽象一级亚抽象函数y= f(x),xE[a,bl二级亚抽象Ax = x -x,Ay= f(x) - f(x),x, E[a,blAy - f(x, + Axr)- f(x)三级亚抽象函数的平均变化率ArArf(x, +△x)- f(x,)A四级亚抽象导数f(x)= limlimArAr-→0Ar→0 △x

例2.导数概念是高度抽象的结果 二级抽象：求物体直线运动的瞬时速度、曲线的 斜率以及电流的强度等概念进行抽象. 一级亚抽象 函数y f x x a b =  ( ), [ , ]； 四级亚抽象 导数 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim . x x y f x x f x f x  →  → x x  +  −  = =   二级亚抽象  = −  = −  x x x y f x f x x a b 0 0 0 ， ( ) ( ), [ , ]； 三级亚抽象 函数的平均变化率， = 0 0 ； y f x x f x ( ) ( ) x x  +  −  