《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）数学构造法

数学构造法数学思想方法简介

数 学 构 造 法 数学思想方法简介

1.何谓数学构造法所谓数学构造法是指：数学中的公式或方法按固定的方式经有限个步骤能够定义或实现的方法.写出公式，给出算法，都是构造法求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，可用-b±/b?-4ac求根公式x=在有限步骤里求出来2a非构造方法：例如闭区间上连续函数的最值定理，只指出了最大（小)值的存在性，而没有给出通过有限步骤把这个最值求出来的具体方法，这就是非构造性的方法

1.何谓数学构造法 所谓数学构造法是指:数学中的公式或方法按 固定的方式经有限个步骤能够定义或实现的方 法.写出公式,给出算法,都是构造法. 非构造方法:例如闭区间上连续函数的最值定 理,只指出了最大(小)值的存在性,而没有给出 通过有限步骤把这个最值求出来的具体方法,这 就是非构造性的方法. 2 2 0( 0) 4 2 ax bx c a b b ac x a + + =  −  − = 求一元二次方程 的根，可用 求根公式 在有限步骤里求出来

2.数学构造法的应用构造法可应用于构造概念、图形、公式、算法、方程、函数、反例、命题等，所构造的命题又可分为等价命题、辅助命题、强命题、弱命题等，还可以构造反例、模型等f(x+ r)- f(x)例如，y'= lim定义属构造性Ar-→0Ax定义

2.数学构造法的应用 构造法可应用于构造概念、图形、公式、 算法、方程、函数、反例、命题等，所构造 的命题又可分为等价命题、辅助命题、强命 题、弱命题等,还可以构造反例、模型等. 0 ( ) ( ) . lim x f x x f x y  → x +  −  =  例如， 定义属构造性 定义

3.例谈例1证明拉格朗日中值定理例2 祭杀百牛，狂欢庆贺的发现勾股定理End

3.例谈 例1 证明拉格朗日中值定理 例2 祭杀百牛,狂欢庆贺的发现 勾股定理 End

例1证明拉格朗日中值定理通过构造辅助函数，将拉格朗日中值定理化归为罗尔定理而获证的曲线y=f(x)与弦AB有共同端点A和B.如果用曲线的纵坐标减去弦的纵坐标，便可得到新函数，使新函数在区间[a,b的两个端点处函数值相等.从而满足罗尔定理条件yPy= f(x)B0SSbaX

例1 证明拉格朗日中值定理 ( ) . [ , ] y f x AB A B a b 曲线 = 与弦 有共同端点 和 如果用曲 线的纵坐标减去弦的纵坐标，便可得到新函数，使 新函数在区间 的两个端点处函数值相等.从而 满足罗尔定理条件. 通过构造辅助函数,将拉格朗日中值定理化归 为罗尔定理而获证的. o y a b x y f x = ( ) B A  P

例1证明拉格朗日中值定理由两点式写出弦AB的直线方程y = (a)+ f(b)- f(a)(x -a),x E[a,b].b-a构造辅助函数f(b)- f(a)Φ(x) = f(x)- f(a)(x-a),xe[a,b]b-ayP经验证Φ(x)在[a,b]上y= f(x)B满足罗尔定理的条件，从而得证E0bBackxa

例1 证明拉格朗日中值定理 构造辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), [ , ] f b f a x f x f a x a x a b b a  − = − − −  − ( ) ( ) ( ) ( ), [ , ]. AB f b f a y f a x a x a b b a − = + −  − 由两点式写出弦 的直线方程  P ( ) [ , ] . 经验证 x a b 在 上 满足罗尔定理的条件， 从而得证 o Back y a b x y f x = ( ) B A

例2 祭杀百牛，狂欢庆贺的发现一勾股定理类似，正方形ACJK与矩形CDGE面积相等.现了直因此，两直角边上的正方形面积之和等于国《周纪就有的斜边上正方形的面积K即a+b2=c2.证毕证一《几何原本》的证法.先证明AABF三AHBCA由于正方形ABHI的面积等Hba于两个△ABF的面积，故正BCD方形ABHI的面积等于矩形BDGF面积FEGBack

F E 据说,公元前6世纪,比达格拉斯本人发现了直 角三角形三边之间的关系定理,也就是我国《周 髀算经》中记载的公元前11世纪—前8世纪就有的 勾股定理,西方称之为毕氏定理. 例2 祭杀百牛,狂欢庆贺的发现—勾股定理 证一 《几何原本》的证法. G Back 2 2 2 . , . ACJK CDGE a + = b c 类似,正方形 与矩形 面积相等 因此,两直角边上的正方形面积之和等于 斜边上正方形的面积, 即 证毕 A K J C . . ABF HBC ABHI ABF ABHI BDGF     先证明 由于正方形 的面积等 于两个 的面积,故正 方形 的面积等于矩形 面积 I H B D a c b

例2 祭杀百牛，狂欢庆贺的发现一勾股定理证二赵爽的证法公元前3世纪.我国三国时期数学家赵爽在自著的《周算经》中给出了构造性证明证法为“勾股相乘为朱实二.倍之为朱实四.以勾股之差自相乘.加差实一亦成弦实.朱实二：axb=2个三角形面积中黄实：(b一a)2等于中间黄色正方形面即4×a×b +(b - a)2=c2α? +b? =c2

例2 祭杀百牛，狂欢庆贺的发现—勾股定理 证二 赵爽的证法. 公元前3世纪,我国三国时期数学家赵爽在自著 的《周髀算经》中给出了构造性证明. 证法为:“勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以 勾股之差自相乘.加差实一亦成弦实.” a b c 朱实二: (b－a) 2等于中间黄色正方形面 积 a×b=2个三角形面积 即4×a×b +(b － a) 2=c 2 2 中黄实: 2 2 2 a b c + =

我国数学家华罗庚的建议在人类向太空发射宇宙飞船探寻外星文化时，我国数学家华罗庚建议把最简单、最重要而且最有代表性的勾股定理，作为宇宙文明能够共同理解的联系符号，置于飞船的显著位置4×43×3432+4=52a2+b2=c255×5Back

在人类向太空发射宇宙飞船探寻外星文化 时,我国数学家华罗庚建议把最简单、最重要, 而且最有代表性的勾股定理,作为宇宙文明能 够共同理解的联系符号,置于飞船的显著位置. 2 2 2 a b c + =Back 我国数学家华罗庚的建议: 3 3  4 4  5 5 2 2 2 5 3 + = 4 5 3 4