《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第六章 求总量的问题——定积分 6-3 定积分的拓展——非正常积分

第三节定积分的拓展一非正常积分主要内容：问题的提出二、反常积分的定义三、反常积分的几何意义四、举例

定积分的拓展—非正常积分 第三节 主要内容： 一、问题的提出 二、反常积分的定义 三、反常积分的几何意义 四、举例

*问题的提出SL（微积分基本定理）设f(x)在[a,b]上连续,若F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则(" f(x)dx = F(b)- F(a).牛顿-莱布尼茨公式 f(x)dx = F(b)-F(a) .要求满足：(1)f(x)在区间[a,b|上连续：(2)[a,b为有限区间

（微积分基本定理） 牛顿-莱布尼茨公式 b a f x x F b F a ( ) ( ) ( ) . = −  d 在区间 上连续； 为有限区间. (1) ( ) [ , ] (2)[ , ] f x a b a b 设 在 上连续 若 是 在 上的 一个原函数 则 d ( ) [ , ] , ( ) ( ) [ , ] , ( ) ( ). ) ( b a f x x F f x a b b F a b a x x F f = −  要求满足： 一、问题的提出

反常类型1.无限区间:[a,+80),(-00,b] ,(-80,+0)2.被积函数f(x)在[a,b内不连续：(1)在左端点a处间断，(2）在右端点b处间断，(3)在区间[a,b的某点处间断

1.无限区间：[ , ) , a + ( , ] , − b ( , ) . − + 2. ( ) [ , ] : 被积函数f x a b 在 内不连续 (1) , 在左端点a处间断 (3) [ , ] . 在区间 a b 的某点处间断 (2) , 在右端点b处间断 反常类型

反常积分1.无穷限的反常积分：+0sin xdxX0 ,82.被积函数具有无穷间断点的反常积分PT二dx X ln |x:- = 0.-1 x

反常积分 1. 无穷限的反常积分， 2. 被积函数具有无穷间断点的反常积分. sin x xd + − d 1 1 1 x − x  = 0 ,1 1 ln 0. x = = −

二、反常积分的定义称无穷区间上的积分和无界函数的积分为广义积分或反常积分，而定积分则称为常义积分或正常积分。本节只研究无穷限反常积分。[t f(x)dx , J'mf(x)dx ,ft f(x)dx

二、反常积分的定义 本节只研究无穷限反常积分. ( ) , ( ) , ( ) . d d d b a f x x f x x f x x + +    − − 称无穷区间上的积分和无界函数的积分为广 义积分或反常积分,而定积分则称为常义积分 或正常积分

+无穷限反常积分的定义f f(x)dx =?设函数f(x)在无穷区间[a,+oo)上有定义,且在任何有限区间[a,A|上可积,如果存在极限lim f f(x)dx = J,A->+80则称此极限J为函数f(x)在[a,+)上的无穷限反常积分,简称无穷限积分，记作J = f f(x)dx,-并称f(x)dx收敛.否则称f(x)dx发散[t° f(x)dx = limf(x)dx .4+8

设函数 在无穷区间 上有定义 且 在任何有限区间 上可积 如果存在极限 ( ) [ , ) , [ , ] , f x a a A + 则称此极限 为函数 在 上的 简称无穷限积分 记作 d 并称 d 否则称 d 发散 无穷限 反常积分 收敛 ( ) [ , ) , , ( ) , ( ) . ( ) . a a a J f x a J f x x f x x f x x + + + + =    无穷限反常积分的定义 ( ) ? d a f x x + =  lim ( ) , d A A a f x x J →+ =  ( ) lim ( ) . d d A a a A f x x f x x + →+ =  

f(x)dxf(x)dx = IJimA→+类似地，可定义函数f(x)在无限区间(-oo,b)及(-80,+)上的无穷限积分：Jm (x)dx = limf(x)dx ,B-→-00 -00f(x)dxf(x)dx +m f(x)dx =8积分区间的可a任意取加性/f(x)dx收敛，右侧两个积分都收敛时，称mf(x)dx发散否则，只要有一个发散，就称

类似地,可定义函数 在无限区间 及 上的无穷限积分 ( ) ( , ] ( , ) : f x b − − + ( ) lim ( ) . d d A a a A f x x f x x + →+ =   ( )d b f x x − =  ( ) , d b B f x x  lim B→− f x x ( )d + − =  积分区间的可 加性 ( ) ( ) d d a a f x x f x x + − +   a任意取 右侧两个积分都收敛时，称 f x x ( )d 收敛 ， + − 否则，只要有一个发散，就称 f x x ( )d 发散. + −

三、无穷限积分的几何意义若f(x)≥0,x E[a,+o~ f(x)dx收敛的几何意义:曲线y=f(x),直线x=a与x轴之间向右无限延伸的阴影区域有面积/并以lim/f(x)dx极A8Ja限的值作为它的面积0.80.60.40.2Fo

三、无穷限积分的几何意义 + a 若 d 收敛的几何意义 曲线 直线 与 轴之间向右无限 延伸的阴影区域有面积,并以 d 极 限的值作为它的面积 ( ) 0, [ , ), ( ) : ( ), lim ( ) . a A A a f x x a f x x y f x x a x f x x + →    + = =  

四、举例8 dx(x)d- mf(x)dx例1 计算A-+8Jdxdx18解』limr204+8limA→+8xlim (1A→+8

d 例 计算 2 1 1 . x x +  d d 2 2 1 1 lim A A x x x x + →+ =   1 1 lim ( ) A A→ + x = − 1 lim (1 ) A→ + A = − = 1 . 解 ( ) lim ( ) d d A a a A f x x f x x + →+ =   四、举例

dx+8 (T例1计算x21.61.41.21+oo dx面积0.8、0.60.40.201214268104t8

d 例 计算 2 1 1 . x x +  1 d 面积 2 1 1 . x x + =  +