《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第五章 微分的逆运算问题——不定积分 5-1 逆向思维又一例——原函数与不定积分

第五章微分的逆运算问题一不定积分

第五章 微分的逆运算问题 ——不定积分

第一节逆向思维又一例原函数与不定积分主要内容：原函数与不定积分的概念公基本积分公式三、不定积分的线性运算法则

第一节 逆向思维又一例 原函数与不定积分 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的线性运算法则 主要内容：

原函数与不定积分的概念回顾导数概念的两个现实原型1.1.切线的斜率:曲线y= f(x)在(xoo)切线的斜率为f(x)- f(x)= f'(x)k = tanα = limx-→xox-x2.变速直线运动的瞬时速度已知物体在[0,T的运动轨迹为s=f(t)S-S.瞬时速度√= limt=tot-→>to t-to= S'(to)

2. 变速直线运动的瞬时速度 已知物体在[0, ] ( ), T s f t 的运动轨迹为 = 1. 切线的斜率 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x → x x − = − 0 k = tan = f x ( ). 回 顾 导 数 概 念 的 两 个 现 实 原 型 一 、原函数与不定积分的概念 曲线y f x x y = ( ) ( , ) 在 0 0 切线的斜率为 瞬时速度 0 0 0 0 t t lim t t S S v t t = → − = − 0 = S t ( )

已知曲线求切线、已知位移求速度引入了导数.已知曲线的切线如何求曲线、已知运动速度如何求路程1.61.A1.20.80.60.40.22-1.5-0.50.51.51由导数（或微分）求原来函数的运算是一种逆向思维过程

已知曲线的切线如何求曲线、已知运动速度 如何求路程？ 由导数(或微分)求原来函数的运算是一 种逆向思维过程. 已知曲线求切线、已知位移求速度引入了 导数

定义设函数F(x)与f(x)在区间I上有定义若在I上F'(x)= f(x),一个原函数则称函数F(x)为f(x)在区间I上的思考函数f(x)为F(x)的导函数

函数f x F x ( ) ( ) _? 为 的 思考 导函数. ( ) ( ) . ( ) ( ), ( ) ( ) . F x f x I I F x f x F x f x I  = 设函数 与 在区间 上有定义 若在 上 则称函数 为 在区间 上的一个 定义 原函数

例如1.：（x3)=3x2,分段函数:x是3x2在区间(-80,+0)上的一个原函数2．：(ln|xl)"=二,： In|x|是二的一个原函数.xxInx,x >0,事实上，Inx=In(-x),x0时，(ln x)=x< 0时,[In(-x)"' =x-x: (ln|xl)'= =x

例如 1. 3 2  − + x x 是3 ( , ) . 在区间 上的一个原函数 1 (ln ) , x x  = 1 (ln ) . x x  = ln( ), 0, ln , 0, ln x x x x x −    =   是 的一个原函数 1 ln . x x  事实上， 2 = 3 , x 3 ( ) x  x  0时，(ln ) x  = 1 ; x x 2.x  0时，[ln ] x  = 1 1 ; x x − = − ( ) −x 分段函数

[-sin2x].2= sin2x,3.cos2x).22[-sin 2x]·2 = sin 2x,cos2x+1)'221cos2x和-=cos2x+1都是sin2x的原函数2什么样的函数存在着原函数呢？一个函数的原函数是不是只有一个呢？

1 ( cos 2 ) 2 − x  = 和 都是 的原函数 1 1 cos 2 cos 2 1 sin 2 2 . 2 − − + x x x 1 ( cos 2 1) 2 − + x  = 3. 一个函数的原函数是不是只有一个呢？ sin 2x， 1 [ sin 2 ] 2 2 − −  = x 1 [ sin 2 ] 2 2 − −  = x sin 2x， 什么样的函数存在着原函数呢？

定理如果函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上存在原函数 F(x).此定理也叫原函数存在定理这就是说，连续函数一定有原函数初等函数在其有定义的区间上存在原函数例如 y=V1-x2是一个初等函数,而且≥0=-1≤x≤1定义故函数y= /1-x2在[-1,1]上存在原函数.域

定理 这就是说,连续函数一定有原函数. 如果函数 f (x)在区间I上连续，则f (x) 在区间I上存在原函数 F(x) . 此定理也叫原函数存在定理 . 初等函数在其有定义的区间上存在原函数. y x = −1 , 2 是一个初等函数 而且 故函数y x = − − 1 [ 1,1] . 2 在 上存在原函数 2 1− x  −   1 1, x 例如  0 定义 域

一个函数的原函数是不是只有一个呢？以下的例子中C为任意常数1. (sinx)'=cosx , (sinx+ C)'=cosx .(In|x|+ C)===2. (lnx)"xx1cos2x)= sin2x ,3.-21cos2x-3)= sin2x,一21C)'=sin2x .cos2x+一2

(sin ) cos , x x  = (sin ) cos . x x + = 1 (ln ) , x x  = 1 ( cos 2 ) sin 2 , 2 − = x x  以下的例子中 为任意常数 1 (ln ) . x x + = 1 ( cos2 ) sin2 . 2 − + = x x  一个函数的原函数是不是只有一个呢？ 1. C 2. C 3. 1 ( cos2 1) sin2 , 2 − + = x x  C C －3

由前例我们可得到以下结论定理设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则(1)F(x)+C也是f(x)的原函数，其中C为任意常数：(2）f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数证设G(x)也是f(x)一个原函数,[F(x) -G(x)] = F'(x)-G'(x)导数为零的函数为[u(x)±v(x)) =u'(x)±v(x)常数函数F(x)-G(x)=C.（C为任意常数)同一函数的原函数不仅不唯一，而且有无穷多个

导数为零 的函数为 常数函数 由前例我们可得到以下结论 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x)   − =−= f x f x ( ) ( ) 0,  − = F x G x C ( ) ( ) . （ C 为任意常数） ( ) ( ) (1) ( ) ( ) (2) ( ) . F x f x I F x C f x C f x + 设 是 在区间 上的一个原函数，则 也是 的原函数，其中 为任意常数； 的任意两个原函数之间相 定 差一个常数 理 [ ( ) ( )] ( ) ( ) u x v x u x v x  =     同一函数的原函数不仅不唯一，而且有无穷多个. 设G(x)也是 f (x) 一个原函数