《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分 3-2 求导数的方法——法则与公式

第二节求导数的方法一法则与公式主要内容：求导法则二天基本初等函数的求导公式

主要内容： 求导数的方法 法则与公式 一、求导法则 二、基本初等函数的求导公式 第二节

求导法则1.函数和、差、积、商的求导法则：如果函数u(x)、v(x)在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且(1) [u(x)±v(x)} =u(x)±v'(x)证明 令y=u(x)±v(x)Ay = u(x + Ax)±v(x +△x)-[u(x)±v(x))=[u(x +Ax) -u(x)]±[v(x +△x) -v(x)]

(1) [ ] u x u x ( )  = v x v x ( ) ( )  ( )  . 1. 函数和、差、积、商的求导法则： 如果函数 、 在点 处可导，则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点 处也 可导，并且 u x v x x ( ) ( ) x 一、求导法则 y u x v x =  ( ) ( )  = +   +  −  y u x x v x x u x v x ( ) ( ) [ ( ) ( )] 证明 令 = +  −  +  − [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] u x x u x v x x v x

=[u(x +△x)-u(x)l±[v(x + △x)-v(x))=Au±AvAuAvAy于是土AxArArAuAvlimlimuy=u(x)±v(x)Ar-0 △xAr-→0AxAuAvAylimu±= lim± limAr→0 AxAr→0 △xAr→0 △x此法则可推广到任意有限项的情形，即代数和的导数等于导数的代数和

. y u v x x x    =     =    u v. 0 0 lim , lim , x x u v u v  →  → x x   = =     0 0 0 lim lim lim . x x x y u v y u v  →  →  → x x x     = =  =        = +  −  +  − [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] u x x u x v x x v x 代数和的导数等于导数的代数和. 于是 y u x v x =  ( ) ( ) 此法则可推广到任意有限项的情形，即

例1 已知y = x3 - sin x +In2,求y'解常数y' = (x3 - sinx +In2))+(=（)-()=0= 3x2 -cosx.[u(x)±v(x))' = u(x)±v(x)(2) [u(x) · v(x)) =u(x)v(x) +u(x)v(x)当u=C(C为常量）时，（Cv)=Cv.常数因子可提到导数符号外面

= 0 当u v = = C C C （ 为常量）时，( ) 例1 sin ln 2, . 已知y x x y = − + 3 求  3 解 y x x   = − + ( sin ln 2) = − + ( ) ( ) ( )    2 = − 3 cos . x x (2) [ ] u x u x ( ) (  v x v x ( ) x  = +  ) ( ) v( ) ( ) u x  . 常数因子可提到导数符号外面. C C v  . sin x ln 2 3 x 常数 [ ] u x u x ( ) (  = v x v x ( )   )  ( )

已知y =x2Inx+2/xcosx+ T例2 ,求y'.)解 j'=(x2 Inx+2/x cosx+TTxInx)+(2/xcosx)+(T )=0=(x")lnx+x?. 1x+(2 /x) cos x+ 2 /x(cos x)cos xE-2/x sin x.=2xlnx+x+/x[u(x).v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v(x)

cos 2 ln 2 sin . x x x x x x x = + + − + + (2 ) cos 2 (cos ) x x x x   2 2 1 ( ) ln x x x x =  +  [ ] u x u x u x ( ) ( ) ( )  v x v x v x ( ) ( ) ( )  = +   常数 [ ] u(x) v(x)  2 例2 ln 2 cos , . 已知y x x x x y = + + π 求  2 解 y x x x x   = + + ( ln 2 cos )  π 2 = + + ( ln ) (2 cos ) ( ) x x x x ln x    ( ) 0 π   = 2 x 2 x cos x

u'(x)v(x) -u(x)v'(x)X(3) [(v(x) ± 0).v(x)v(x)当u(x)=1时,=0(1)'v(x)-1· v'(x)-v(x)v2(x)v(x)v(x-媚不可以为

= 0 2 1 (1) ( ) 1 ( ) [ ] ( ) ( ) v x v x v x v x   −   = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) [ ] ( ( ) 0). ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x v x   −  =  ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) . u x u x v x v x   =  不可以为 当u x( ) 1 , = 时 2 ( ) . ( ) v x v x −  =

(tan x)' = sec" x,例3已知y=tanx,求y(cot x)' = -csc2 x.sin x解y= (tanx)=cosx(sin x)' cos x - sin x(cos x)cos? xcos? x + sin? x12=sec-xcos? x2cos" xu(x)=v(x)

解 sin (tan ) ( ) cos x y x x    = = x x x x x 2 cos (sin ) cos − sin (cos ) = 2 2 1 sec . cos x x = = 例3 tan , . 已知y x y = 求  2 2 (tan ) sec (cot ) csc . x x x x  =  = − ， x x x 2 2 2 cos cos + sin = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x   −  = sin cos x x ( )==

例4已知y = sec x,求y'解y=(secx)=(cos x-(cos x)"cos? x1-v(x)sinx福Ocosx= secx tanx.(sec x)'= secx tan x,(cscx)'= -cscxcot x

解 1 (sec ) ( ) cos y x x    = = 2 (cos ) cos x x −  = 2 sin cos x x = = sec tan . x x 例4 sec , . 已知y x y = 求  (sec ) sec tan , (csc ) csc cot . x x x x x x   = = − 2 1 ( ) [ ] ( ) ( ) v x v x v x −   =

2.复合函数的求导法则设y= f[q(x)是由函数y= f(u)及u=β(x)复合而成的函数，并设函数u=(x)在点x处可导，=f(u)在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数的求导法则：dy_ dy dudxdu dx此式也可写为中间变自变量量dyy'=yu·u.f'(u)p(x)dx

2. 复 合 函 数 的 求 导 法 则 ： 设 是 由 函 数 及 复合而 成 的 函 数，并 设 函 数 在 点 处 可 导， 在对应 点 处 也 可 导， 则有复合函数的求导法则： [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y f x y f u u x u x x y f u u x     = = = = = = y y u x u x = d d d 此式也可写为 d d d f ( ) ( ), u xy =     x dd . x u x y y u    =  中间变量 自变量

复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数自变量中间变量中间变量设y= f(u),u=p(),v=y(x),则复合函数y=f(q[y(x)的求导法则为：dydy du dydxdudydx

. x x u u y v v y =   d d d d d d d d 复合函数的求导法则可叙述为：复合函 数的导数，等于函数对中间变量的导数乘 以中间变量对自变量的导数. ( ), ( ), ( ), { [ ( )]} y f u v v y x x u f = = = = 设 则复合函数 的求导法则为：     中间变量 中间变量 自变量