《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分 习题课

第三章变量变化速度与局部改变量估值问题一导数与微分习题课主要内容一、目的要求二、内容结构三、典型例题四、练习题

第三章 变量变化速度与局部改变量 估值问题—导数与微分 习题课 主要内容 一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题

目的要求☆理解导数概念与其几何意义，知道导数的物理意义，了解可导与连续的关系；☆熟练掌握导数的基本公式，四则运算法则，复合函数及隐函数的求导方法：☆理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数☆理解函数的微分概念，掌握微分法则，会求函数的一阶微分，掌握微分在近似计算中对简单问题的应用

☆ 理解导数概念与其几何意义,知道导数的物理 意义，了解可导与连续的关系； ☆ 理解函数的微分概念，掌握微分法则，会求函 数的一阶微分,掌握微分在近似计算中对简单 问题的应用. ☆ 熟练掌握导数的基本公式，四则运算法则， 复合函数及隐函数的求导方法; ☆ 理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数； 目的要求

重点与难点重点：导数与微分的概念及几何意义求函数（包括复合函数、隐函数）的导数。难点：对隐函数求导

重点：导数与微分的概念及几何意义， 求函数（包括复合函数、隐函数） 的导数. 难点：对隐函数求导. 重点与难点

知识网络图

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定义设函数y=f(x）在点x处有增量△x，如果的增量△可写为导Ay = A×Ax + o(△x)其中A是与△无关的常数，A·△x为y的可导数线性主部，o(△x）是△r的高阶无穷小，则称导数与微分[u(μ函数y=f(x)在点x 可微，并称A·Ar为=f(x)在点x处的微分,记作dy或df(x)u'复合函数的导数，等于函数对中间变量["的导数乘以中间变量对自变量的导数.微以(x)v(x)微分公式微分公式和运算法则微分的运算法则微分在近似计算中的应用

导 数 与 微 分 导数 导数的概念 导数的定义 导数的几何意义与物理意义 高阶导数 单侧导数 连续与可导的关系 导数的运算法则及导数公式 导数的四则运算法则 导数公式 复合函数求导法则 隐函数求导法则 微分 微分的概念 微分的定义 微分的几何意义 可导与可微的关系 微分公式和运算法则 微分公式 微分的运算法则 微分在近似计算中的应用 0 0 0 0 0 ( ) ( ) x x lim lim x x y f x x f x y x x =  →  →  +  −  = =   可导一定连续，连续不一定可导. 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ( ) 0) ( ) ( ) u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x u x v x u x v x v x v x v x  =      = +      −  =  复合函数的导数，等于函数对中间变量 的导数乘以中间变量对自变量的导数. 设函数 在点 处有增 量 如果 的增量 可写为 其中 是与 无关的常数 为 的 线性主部 是 的高阶无穷小 则称 函数 在点 可微 并 定 称 为 在点 处的微分 记 义 作d 或d ( ) , ( ) , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ). y f x x x y y y A x o x A x A x y o x x y f x x A x y f x x y f x =    =   +        =   =

例题例1求f(x)= e*(sinx +cosx)的导数提示与分析：利用导数的乘法法则求解[u(x).v(x)) = u(x)v(x)+u(x)v(x)解y"=[e*(sin x+cosx)]"= (e*)'(sin x + cos x) +e*(sin x+ cos x)= e*(sin x+ cosx)+e*(cosx -sinx)= 2e* cosx

[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x u x v x u x v x  = +    例1 ( ) (sin cos ) . 求f x x x = + e x 的导数 解 [ (sin cos )] e x y x x   = + ( ) (sin cos ) (sin cos ) e e x x = + + +   x x x x (sin cos ) (cos sin ) x x = + + − e e x x x x 提示与分析：利用导数的乘法法则求解. 例题 2 cos . x = e x

例2抛物线y=x2-2x+2上哪一点处的切线与直线y=2x平行？哪一点处的法线与直线y=2x平行?提示与分析根据导数的几何意义表示出抛物线上任点的切线斜率",然后根据已知条件列方程、解方程即可

2 2 2 2 2 2 y x x y x y x = − + = = 例 抛物线 上哪一点处的切线与 直线 平行？哪一点处的法线与直线 平行？ 提示与分析： , . y  根据导数的几何意义表示出抛物线上任 一点的切线斜率 然后根据已知条件列方 程、解方程即可

解抛物线上任一点处切线的斜率为k=y'=2x2要使得某一点的切线与V=2x平行，即要满足2x一2=2,解得x =2,y=2.所以抛物线y=x2-2x+2上(2,2)点处的切线与直线y=2x平行要使得某一点的法线与V=2x平行1731解得x：即要满足2x-2=16A2抛物线y=x2-2x+2上哪一点处的切线与直线V=2x平行？哪一点处的法线与直线y=2x平行？

即要满足2 2 2, x − = 解 抛物线上任一点处切线的斜率为k y x = = −  2 2, 解得x y = = 2, 2. 要使得某一点的切线与y x = 2 平行， 2 2 2 (2, 2) 2 . y x x y x = − + = 所以抛物线 上 点处的切线 与直线 平行 要使得某一点的法线与y x = 2 平行， 即要满足 1 2 2 , 2 x − = − 解得 3 17 , . 4 16 x y = = 2 3 17 2 2 ( , ) 4 16 2 . y x x y x = − + = 所以抛物线 上 点处的法线 与直线 平行 2 2 2 2 2 y x x y x y x = − + = = 抛物线 上哪一点处的切线与 直线 平行？哪一点处的法线与直线 平行？

Iy=x2-2x+24.5y=2x43.532.521.5Y1-0.50230.51.52.5-1

2 y x x = − + 2 2 y x = 2

例3求y= cot x的导数提示与分析：利用导数的除法法则求解u'(x)v(x) -u(x)v'(x)(v(x) ±0)v(x)v(xcos x解一(cot x)' = (sin x(cos x)' sin x - cos x(sin x)sin? xsin? x - cos? x1-csc"x.2sin? xsin?x

解一 cos (cot ) ( ) sin x x x   = 2 (cos ) sin cos (sin ) sin x x x x x   − = 2 2 2 sin cos sin x x x − − = 2 2 1 csc . sin x x = − = − 例3 cot . 求y x = 的导数 提示与分析：利用导数的除法法则求解. 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ( ) 0) ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x v x   −  = 