《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第四章 导数的应用问题——洛必达法则、函数的性质和图像 4-4 利用导数研究函数的图像——曲线的绘制

第四节利用导数研究函数的图像曲线的绘制主要内容：函数的凸凹性利用导数绘制函数的图像二

第四节 利用导数研究函数的图像 曲线的绘制 主要内容： 一、函数的凸凹性 二、利用导数绘制函数的图像

在研究函数特性时往往需要知道函数的直观图形，利用函数的一阶、二阶导数可以绘制出函数的较精细的图形.本节将研究这个问题

在研究函数特性时往往需要 知道函数的直观图形，利用函 数的一阶、二阶导数可以绘制 出函数的较精细的图形.本节将 研究这个问题

曲典线弯曲方向凹凸性观察右图：切线的斜率越来越大当x从小变大时，Vf'(x)也从小变大y= f(x)f(x)单调增加f"(x)≥00xf(x)的图像为凹弧

一、曲线弯曲方向 凹凸性 观察右图： x y o y = f (x) f x ( )  0 当 从小变大时， ( )也从小变大. x f x  f x( )的图像为凹弧 f x ( )单调增加 切线的斜率 越来越大

观察右图：切线的斜率越来越小当x从小变大时，Vf'x从大变小y= f(x)f'(x)单调减少f"(x)≤00xf(x)的图像为凸弧二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧；二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二阶导数为零，且两侧异号，是拐点

二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧； 二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二 阶导数为零，且两侧异号，是拐点. 观察右图： x y o y = f (x) f x ( )  0 ( ) x f x  当 从小变大时， 从大变小. f x( )的图像为凸弧 f x ( )单调减少 切线的斜率越 来越小

例1判断曲线=x3的凹凸性解 y'= 3x2, y"= 6x, D =(-00,+o0)当x0时，y">0,曲线在[0,+0)为凹的注意到点（0,0)是曲线由凸变凹叫的分界点拐点

例1 . 判断曲线 y x = 3 的凹凸性 解 当x  0时， 当x  0时， 曲线在[0, ) + 为凹的. 注意到点(0,0) . 是曲线由凸变凹的分界点 曲线在( ,0] − 为凸的； 2 y x  = 3 , y x  = 6 , D = − + ( , ). y   0, y   0, 拐点

凹弧0.80.6y=x0.40.20凸弧82O-0.4分界-0.6-0.8点-10.2-0.8-0.6-0.4-0.200.40.60.8-1

凸弧 分界点 凹弧 3 y x =

利用导数绘制函数的图像1.曲线的渐近线定义当曲线y=f(x)上的一动点P沿着曲线移向无穷点时，如果点P到某定直线L的距离趋向于零,那么直线L就称为曲线y=f(x)的一条渐近线铅直渐近线曲线的渐近线水平渐近线斜渐近线

( ) , , ( ) . y f x P P L L y f x = = 当曲线 上的一动点 沿着曲 线移向无穷点时 如果点 到某定直线 的距离 趋向于 那么直线 就称为曲线 的一 条 定义 零 渐近线 二、利用导数绘制函数的图像 1. 曲线的渐近线 曲线的渐近线 铅直渐近线 水平渐近线 斜渐近线

铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线）如果lim f(x)= 或 lim f(x)= 0,那x→xx-→xo么x=x,就是 =f(x)的一条铅直渐近线水平渐近线(平行于x轴的渐近线)如果 lim f(x)=b或 lim f(x)=b (b为-常数),那么=b就是 =f(x)的一条水平渐近线

铅直渐近线( ) 垂直于 x 轴的渐近线 如果 或 那 么 就是 的一条铅直渐近线 0 0 0 lim ( ) lim ( ) , ( ) . → → + − =  =  = = x x x x f x f x x x y f x 水平渐近线( ) 平行于 x 轴的渐近线 如果 或 为 常数 那么 就是 的一条水平 渐近线 lim ( ) lim ( ) ( ), ( ) . →+ →− = = = = x x f x b f x b b y b y f x

1例如 y=有两条铅直渐近线(x + 2)(x -3)两条铅x =-2,x = 3.直渐近线0.80.60.40.2-0.2-0.4-0.6..-0.8-60-4-24

例如 有两条铅直渐近线 1 ( 2)( 3) 2, 3. y x x x x = + − = − = 两条铅 直渐近 线

Y10.5X1-2-12-0.5y=arctanx有两条水平渐近线TTTTV=V22

arctan 有两条水平渐近线 , . 2 2 y x y y = = = − π π