《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第七章 偶然中蕴含必然的问题——概率统计初步 7-7 由部分刻画整体的方法——统计推断

第七节由部分刻画整体的方法一统计推断主要内容：一、参数估计二、假设检验

第七节 主要内容： 一、参数估计 二、假设检验 由部分刻画整体的方法 统计推断

点估计参数估计区间估计估计问题统计推断非参数估计通过样本得到的信息对总体未知参数进行估计检验问题通过样本得到的信息对总体参数的某种假设进行判断

估计问题 检验问题 参数估计 非参数估计 点估计 区间估计 通过样本得到的信息对 总体未知参数进行估计 通过样本得到的信息对总 体参数的某种假设进行判断 统 计 推 断

参数估计参数是刻画总体某方面概率特性的数量当此数量未知时，从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计。比如，估计一个群体的身高估计湖中鱼的总量估计一批产品的废品率

一、参数估计 参数是刻画总体某方面概率特性的数量. 当此数量未知时,从总体抽出一个样本，用 某种方法对这个未知参数进行估计就是参数 估计. 比如，估计一个群 体的身高 估计湖中鱼的总量 估计一批产品的废品率

的统计量估计量：用来估计总体未知参数0设某种电子元件的寿命～N(u,)，则期望值和方差都是未知参数点估计：估计未知参数的值求出总体未知参数θ的估计量é，或估计值数值随机变量通过构造样本的函数，估计一个群体的身高是1.66m，这就是点估计具体的数

估计量：用来估计 总体未知参数  的统计量  ˆ . 设某种电子元件的寿 命 ，则期 望值 和方差 都是 未知参数. 2  N( , )    2  点估计:估计未知参数的值. 随机变量 数值 通过构造样本的函数，估计一个群体的身高 是1.66m，这就是点估计. 具体的数 求出总体未知参数θ 的估计量  ˆ ，或估计值

区间估计：求出总体未知参数的一个估计区间(@,,).通过构造样本的函数，一个群体的身高是在区间(1.61m,1.69m)，这就是区间估计E可称为一阶原点矩,E一E?可称为S1.点估计的二阶中心矩点估计最常用的方法是矩估计法，最常用的就是用样本平均数估计总体期望值，用样本方差估计总体方差“替换”思想矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的

Eξ可称为ξ一阶原点矩,E(ξ－Eξ) 2可称为ξ 的二阶中心矩 区间估计: 求出总体未知参数的一个估计区间 1 2 ˆ ˆ ( , ).   通过构造样本的函数，一个群体的身高是在 区间(1.61m,1.69m)，这就是区间估计. 1.点估计 点估计最常用的方法是矩估计法，最常用 的就是用样本平均数估计总体期望值，用样 本方差估计总体方差。 矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的. “替换”思想

例1求总体期望值 μ和方差2的矩估计解：E=μD =α?=E2-(E)矩估计核心思想：样本平均数估计总体期望值，用样本方差估计总体方差所以，由矩估计法知=x122X-(X)nil

例1 求总体 期望值μ和方差σ2 的矩估计. 解 E  = 2 2 2 D E E     = − = ( ) 所以，由矩估计法知  ˆ = X, 2 2 2 1 1 ˆ ( ) . n i i X X n =  = −  矩估计核心思想：样本平均数估计总体期 望值，用样本方差估计总体方差. 2 ( ) X 2 1 1 n i i X n =  X －

例2设总体的概率分布是502-10201-30p试求未知参数的矩估计,若有一组样本观测值(1.8,2.1,一0.2,1.5),求 0=?解 E=-20+2-60=2-80,X=Es[1.8+2.1+(-0.2)+1.5]=1.3≤X=2-80样本平均数估计总体=(2 -1.3) = 0.0875:.0==(2期望值88

例2 设总体  的概率分布是 1 [1.8 2.1 ( 0.2) 1.5] 1.3 4 x = + + − + = 1 (2 1.3) 0.0875. 8 = − =  －1 0 2 p 2θ θ 1－3θ 试求未知参数θ 的矩估计,若有一组样本观 测值(1.8, 2.1, －0.2, 1.5),求θ=? 解 E    = − + − = − 2 2 6 2 8 , 2 8 1 (2 ) 8 X x  = −  = −   样本平 均数估 计总体 期望值 X = E 1.3

2.区间估计点估计值é仅仅是未知参数e的一个近似值，且与存在偏差.它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大．区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷比如，在估计一批电子元件废品率的问题中，若我们根据一个实际样本，得到废品率6估计值是3%.实际上，的真值可能大于3%，也可能小于3%

2. 区间估计 点估计值 仅仅是未知参数θ 的一个近 似值，且与θ 存在偏差.它没有反映出这个近 似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间 估计正好弥补了点估计的这个缺陷 . ˆ  比如，在估计一批电子元件废品率的问题 中，若我们根据一个实际样本，得到废品率θ 估计值是3%.实际上，θ 的真值可能大于3%， 也可能小于3%

若能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信θ的真值位于其中.这样对废品率的估计就有把握多了。也就是说，我们希望确定一个区间，使得能以比较高的可p呈度相信它包含真参θ 置.置信上限置信下限012P(0.<<)=1-α这里所说的」“可信程度”是用概率来度量的，称为置信系数..置信系数记作1一，Q是α个(①为置信区间较小的正数,称

若能给出一个区间，在此区间内我们合理 地相信 θ 的真值位于其中. 这样对废品率的估 计就有把握多了. 也就是说，我们希望确定一个区间，使得 能以比较高的可信程度相信它包含真参数值. θ1 θ2 （ ） P θ1 θ2 θ （ < < ） 1 2 ˆ ˆ P( ) 1      = −  置信下限 置信上限 这里所说的“可信程度”是用概率来度量的， 称为置信系数.置信系数记作1－ ， 是一个 较小的正数,称 为置信区间. 1 2 ˆ ˆ ( , )    

例3 设(Xj,...Xn)是取自正态总体 N(u,α2)的一个样本，α^已知,求均值μ的 置信区间(Q=0.05)待估参数f(x)解?选u的点估计为x0.4X-μ取 U=~N(0, 1)α//n&1-α给定α，由xP(IU <ua/2) = 1-αUa/2-ua/20X-u≤u.P(-uα/2<)=1-αQ/20In1P(X -Ua/2u<X+u三1-αa/2InY

例3 待估参数 解 选μ的点估计为 X 2 2 ( ) 1 X P u u n − −   = −      2 2 P X u X u ( ) 1 n n −   + = −       2 P U u (| | ) 1  = −   o x f x( ) −u 2 u 2 1− ~N(0, 1) X U n   − 取 = 2  给定  ，由 设(X1 ,.Xn )是取自正态总体 的一个 样本， 求均值μ的 置信区间( =0.05). 2 N( , )   2  已知, 