《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第十章 一元微积分的推广（二元微积分概要）10-2 二元函数的极限与连续性

第二节二元函数的极限与连续性主要内容：二元函数的概念福二、二元函数的极限三、二元函数的连续性

第二节 二元函数的极限与连续性 主要内容: 一、二元函数的概念 二、二元函数的极限 三、二元函数的连续性

二元函数的概念多元函数的举例例1 智商问题1905年，比奈i居教育部门测量儿童智力的需要，与西蒙一起制定了第一个测量智力的工具—B-S量表年龄、智龄：MA←+智商取决于智龄和CA ←→ 实龄：实龄的共同作用智商IQ = (MA / CA)×100D =((MA,CA)|MA > 0,CA > 0},f(D)=(IQ|IQ > 0)

一、二元函数的概念 多元函数的举例 例 1 智商问题. 1905年，比奈根据教育部门测量儿童智力的 需要，与西蒙一起制定了第一个测量智力的工 具 B-S量表. 智龄：实际通过的测试对应的年龄. 实龄：儿童的实际年龄. 智商 IQ =  ( / ) 100. MA CA 智商取决于智龄和 实龄的共同作用

例2 设有一个长方体，高为h,底边为的正方形，其体积为V=b’h(b>0,h>0).每给定一对数值(b,h),都有唯一确定的值V与之对应h解设V=f(b,h)=bhb体积取决于底面边长和高两个变量的共同作用。D = ((b,h)|b > 0, h> 0),f(D) = (VV>0)

例2 b h o 解 体积取决于底面边长和高两 个变量的共同作用. 设有一个长方体，高为 底边为 的正方 形，其体积为 每给定一对 数值 ，都有唯一确定的值 与之对应 2 , ( 0, 0). ( , ) . h b V b h b h b h V =  

例3设Z表示居民人均消费收入，Y表示国民PY收入总额，P表示总人口数，则有Z=S,S,P其中S,是消费率(国民收入总额中用于消费所占比例)，S,是居民消费率(消费总额中用于居民消费所占的比例)解设Z=f(Y,P)居民人均消费收入取决于国民收入总额及总人口数两个变量D =((Y,P)Y >0,P>0}f(D)={Z[Z > 0)

例3 解 居民人均消费收入取决于国民收入总 额及总人口数两个变量. 设 表示居民人均消费收入， 表示国民 收入总额， 表示总人口数，则有 其中 是消费率 国民收入总额中用于消费所 占比例 ， 是居民消费率 消费总额中用于居 民消费所占的比例 1 2 1 2 . ( ) ( ). Z Y Y P Z S S P S S =

二元函数的定义设在某一变化过程中，有三个变量x,和z.x,的变化范围记作D如果对于D中任意一组值xv按照一定的对应法则f,变量有唯一的值与之对应，则称z是x,j的二元函数，记作z=f(x,J).其中x,y称为自变量，称为因变量，D称为该函数的定义域

二元函数的定义

类似地可定义三元及三元以上函数当n≥2时，n元函数统称为多元函数多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念

当n  2时，n元函数统称为多元函数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念. 类似地可定义三元及三元以上函数

区域：所有有序数组(x，)构成的集合区域是由一条或几条曲线所包围的平面上的部分，包围区域的曲线称为该区域的边界边界：一条1.5曲线组成边界：几条曲0.5线组成-0.5-1-1.5201.50.521

区域：所有有序数组(x , y)构成的集合. 区域是由一条或几条曲线所包围的平面上的 部分，包围区域的曲线称为该区域的边界. 边界：一条 边界： 曲线组成 几条曲 线组成

包含边界的区域称为闭区域，否则称为开区域如果某区域能包含在一个具有确定半径的圆内，则称其为有界区域，否则称为无界区域有界区域1.5无界区域V0.5-0.5+X2-1-1.5n0.51.521

包含边界的区域称为闭区域，否则称为开区域. 如果某区域能包含在一个具有确定半径的圆 内，则称其为有界区域，否则称为无界区域. x y o 无界区域 有界区域

例4求函数z= ln(x+y)的定义域解所求定义域为D=(x,)Ix+>0}x0x+y=0

例4 求函数z x y = + ln( ) . 的定义域 解 所求定义域为 D x y x y = +  {( , ) | 0}. x y o x y + = 0

4x-y的定义域例5求函数z = arcsin(2x)+In(1- x2 - y2-1≤2x≤1tno0.8解0.64x-y2≥00.40.21-x2-2>0-0.21-x2-y ±1-0.4-0.6oμ-0.821-0.50.5≤4x,0 <x2 +2 <1)D=((x,y)<x<

例 5 求 函 数 的 定 义域 2 2 2 4 arcsin(2 ) . ln(1 ) x y z x x y − = + − − 解 2 2 2 2 2 1 2 1 4 0 1 0 1 1 x x y x y x y −    −   − −   − −  1 1 2 2 2 {( , ) , 4 ,0 1}. 2 2 D x y x y x x y = −     +  