《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第一章 行列式 1-4 对换

行列式第四节对换对换的定义二、 对换与排列的奇偶性的关系三、小结思考题2

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH对换的定义一、定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.将相邻两个元素对调，叫做相邻对换例如a....aab....bmbc....c.....a, ab b, ...b.11P.a, ba b, ...bma, ...a, b b,...bma c....cn.d1上页回下页

一、对换的定义 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． a1 al a b b1 bm 例如 a b a1 al bbaa b1 bm l m n a a a b b b c c 1 1 1 l m n a a b b b a c c 1 1 1 b a a b

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、对换与排列的奇偶性的关系定理1一个排列中的任意两个元素对换， 排列改变奇偶性证明设排列为对换a与bai ...a, ab b, ...ba, ...a, ba b, ...bm.除a,b外，其它元素的逆序数不改变上页回下页

二、对换与排列的奇偶性的关系 定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为 a1 al ab b1 bm 对换 a 与 b a1 al ba b1 bm 除 a,b 外，其它元素的逆序数不改变. ab ba

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH当ab时,经对换后α的逆序数不变，b的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性设排列为 a....a,ab...b.bc....c,现来对换a与b.上页回下页

当 a  b 时， 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变; 经对换后 a 的逆序数不变 ， b 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 l m n a a ab b bc c 1 1 1 当 a  b 时， 现来对换 a 与 b

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHa....a, ab..bm bc...cnm次相邻对换a.... a, abb.... bmc....cnm+1 次相邻对换a...a,bb...bmac....a,....a,ab,...bmbc....cn.2m+1次相邻对换a,...a,bb....bmaci...cn所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.页回下质

m 次相邻对换 l m n a a ab b  b c c 1 1 1 m + 1 次相邻对换 l m n a a b b b a c c 1 1 1 , 1 l 1 m 1 n  a a ab b bc c 2m +1 次相邻对换 , 1 l 1 m 1 n a a bb b ac c 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. ab l m n a a a b b b c c 1 a 1 b 1 b a

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立定理2n阶行列式也可定义为D =Z(-1)apia p2 -a p.n其中t 为行标排列p,P,p,的逆序数证明按行列式定义有上页回下页

推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. ( ) p p p n t n D a 1a 2 a 1 2 =  − 1 定理2 n 阶行列式也可定义为 其中 t 为行标排列 p1 p2  pn 的逆序数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 证明 按行列式定义有

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHD =E(-1)aip,a2p.-amp,.记D, =E(-1)apiap2ap.n对于D中任意一项（-1)aipa2pamp,总有且仅有 D,中的某一项（-1)aaaan2aan与之对应并相等;反之，对于D 中任意一项(-1)apiap2ap.n，也总有且仅有D中的某一项(-1)aiga24z-am,与之对应并相等,于是D与 D,中的项可以一一对应并相等，从而 D= DI.上页回下质

( ) p p npn t D a a a 1 1 2 2 =  −1 ( ) p p p n t n D1 a 1a 2 a 1 2 记 =  −1 对于D中任意一项 ( 1) , 1 p1 2 p2 npn t − a a a 总有且仅有 D1 中的某一项 ( 1) , q11 q2 2 q n s n − a a a 与之对应并相等;反之, 对于 D1 中任意一项 ( 1) , p11 p2 2 p n t n − a a a 也总有且仅有D中的某一项 ( 1) , 1q1 2q2 nqn s − a a a 与之对应并相等, 于是D与 D1 中的项可以一一对应并相等, 从而 . D = D1

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理3n阶行列式也可定义为福D -E(-1)a pg.a pa2.a p.其中p,p,·pn，qqz:q是两个n级排列，t为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和例1试判断142331a425665和-3243145125466是否都是六阶行列式中的项解142331425665下标的逆序数为(431265)= 0+1+2 +2 +0+1= 6所以a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项上页回下页

定理3 n 阶行列式也可定义为 ( ) p q p q pnqn t D a a a 1 1 2 2 =  − 1 其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. n q q qn p1 p2  p , 1 2  n t 例1 试判断 a14a23a31a42a56a65 和− a32a43a14a51a25a66 是否都是六阶行列式中的项. 解 a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为 t(431265) = 0 + 1+ 2 + 2 + 0 + 1 = 6 所以 14 23 31 42 56 65 是六阶行列式中的项. a a a a a a

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH—324314a51a2566下标的逆序数为t(452316)= 8所以一a32a43a1451a25a66不是六阶行列式中的项顶国下页

− a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为 t(452316) = 8 所以 32 43 14 51 25 66 不是六阶行列式中的项. − a a a a a a

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例2在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号(1)a23a31a42a56a1465;(2)a32a43a14a51a66a25解 (1)a23a31a4256a1465 → a1423a31a42a56a65431265的逆序数为t=1+0+2+2+1+0=6所以a23a3ia42asaas前边应带正号上页回下页

例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号. (1) ; a23a31a42a56a14a65 (2) . a32a43a14a51a66a25 解 23 31 42 56 14 65 (1) a a a a a a 431265的逆序数为 t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6, 所以 a23a31a42a56a14a65 前边应带正号. , → a14a23a31a42a56a65