《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第九章 含变化率的方程问题——微分方程浅说 9-1

第九章含变化率的方程问题微分方程浅说

第九章 含变化率的方程问题 ——微分方程浅说

微分方程发展的历史1676年詹姆士·伯努利致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到18世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为研究、了解和知晓现实世界的重要工具

1676年詹姆士·伯努利致牛顿的信中 第一次提出微分方程，直到18世纪中期， 微分方程才成为一门独立的学科.微分方 程建立后，立即成为研究、了解和知晓现 实世界的重要工具． 微分方程发展的历史

从最初的初等求解技巧到数值模拟技术，从早期的方向场到今天的定性理论、分岔理论三百多年的历史使这门数学分支不仅成为了数学学科中队伍最大、综合性最强的领域之一而且成为数学以外学科最为关注的领域之一它的发展极大地推动了力学技术、电子技术生物技术等诸多领域的发展，尤其是地球椭圆轨道的计算、海王星的发弹道轨道的定位、大型机械振动的分析、自动控制的设计、气象数值预报、年龄人口增长宏观预测等等，微分方程为之提供了关键技术支撑

从最初的初等求解技巧到数值模拟技术, 从 早期的方向场到今天的定性理论、分岔理论, 三百多年的历史使这门数学分支不仅成为了数 学学科中队伍最大、综合性最强的领域之一, 而且成为数学以外学科最为关注的领域之一. 它的发展极大地推动了力学技术、电子技术、 生物技术等诸多领域的发展，尤其是地球椭圆 轨道的计算、海王星的发现、弹道轨道的定位、 大型机械振动的分析、自动控制的设计、气象 数值预报、年龄人口增长宏观预测等等, 微分 方程为之提供了关键技术支撑

第一节微分方程初识一一般概念主要内容：举例微分方程的定义二、1三、微分方程的解四、微分方程解的几何意义

主要内容: 一、举例 二、微分方程的定义 三、微分方程的解 四、微分方程解的几何意义 第一节 微分方程初识 一般概念

举例几何中的微分方程问题例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求这曲线方程=x+1和y=2解设所求曲线为y=(x),4.53.5=[2xdx，即j=x2+C.2.5(1, 2)由条件y|x=1=2，求得C=1,21.5所求曲线方程为y=x2+1.0.5-0.50.5-1.575

求得C = 1, 解 设所求曲线为y y x = ( )， y x x = 2 , d  即 2 y x C = + , 由条件y x=1 = 2， 所求曲线方程为 2 y x = +1. 一、举例 几何中的微分方程问题 即 2 1 2 y x C = + , d 且 d 1 2 2. x y x y x = = = (1, 2) 例 一曲线通过点 ，且在该曲线上任一点 处的切线的斜率为 ，求这曲线方程 1 (1, 2) ( , ) 2 . M x y x

物理中的微分方程问题例2以初速度>,垂直上抛一物体，设此物体的运动只受重力影响，试求他所经过的路程s与时间的函数关系提示与分析：速度是位移的变化率：加速度是速度的变化率d's解 F= ma=-mgS三a-gdt?d’s-gdt?dst=0 = Vo,s(0) = 0dtG =mg

例 以初速度 垂直上抛一物体，设此物体 的运动只受重力影响，试求他所经过的路程 与时间 的函数关系 0 2 . v s t 解 物理中的微分方程问题 0 v G mg = F ma mg = = − d d 2 2 s a g t  = = − s d d 2 2 s g t = − 速度是位移的变化率；加速度是速度的变化率. 提示与分析： d d 0 0 , (0) 0 t s v s t =    = =  

d’s=-g等式两边积分一次dt?dsdsCdr =-/ gdigtdtdsds-gt+ydtVot=0dt再积分一次1(vo - gt)dt0+C↑S=0gVo-2(0)002

d d 2 2 s g t = − d d d s g t t = − d d t 0 0 s v t =    =   等式两边积分一次 d d s gt C t  = − + d d 0 s t = − + gt v 0 v 0 再积分一次 d 0 s v gt t = − ( )  2 0 1 2 s v t gt C = − +  s(0) 0   =  0 0 0 2 0 1 . 2  = − s v t gt d d s gt C t  = − +

结论已知曲线的切线和过一定点，就可以决定曲线的方程已知物体的受力和初始状态，就可以决定物体任意时刻的位置和速度，已知变量的导数关系及初始条件，就可以决定变量的函数关系

已知曲线的切线和过一定点，就可以决 定曲线的方程. 结论 已知物体的受力和初始状态，就可以决定 物体任意时刻的位置和速度. 已知变量的导数关系及初始条件，就可 以决定变量的函数关系

微分方程的定义二、微分方程：称含有自变量x、函数y及其导数y, J",...,y(n的等式F(x,y, y',..., y(n)) =0为n阶微分方程。自变量x和函数>可以不出现,但导数一定要出现实质：联系自变量，未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式J"+2 y'-3y=e*,例j'=y,dy=x.(t? + x)dt + xdx= 0,dx

微分方程： 例 y y  = , d d 2 ( ) 0, t x t x x + + = 2 3 , e x y y y   + − = d d . y x x = 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数 的某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义 自变量x和函数y可以不出现,但导数一定要出现. y  y  y  dt dx d d y x 称含有自变量 、函数 及其导数 的等式 为 阶微分方程。 ( ) ( ) , , , ( , , , , ) 0 n n x y y y y F x y y y n    =

分类1（未知函数的类型）常微分方程、偏微分方程未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程a'u'ua'uf(x, y,z)dx2axOza2X常微分方程dt偏微分方程d?dyy+b+cy = sin x2dxdxxdy - ydx = 0

未知函数为一元函数的微分方程，称为常 微分方程. 未知函数为多元函数的微分方程，称为偏 微分方程. 分类1（未知函数的类型） 常微分方程、偏微分方程. d d x 2 x t = d d d d 2 2 sin y y b cy x x x + + = d d2 x y y x − = 0 常 微 分 方 程 d d 2 d 222 2 2 2 ( , , ) uuu f x y z x y z  + + =    偏微分方程 