《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第十章 一元微积分的推广（二元微积分概要）10-6 二重积分的概念与计算

第六节二重积分的概念与计算主要内容：、二重积分的概念与性质二、二重积分的计算

第六节 二重积分的概念与计算 主要内容： 一、二重积分的概念与性质 二、二重积分的计算

、二重积分的概念与性质回忆一元定积分的定义我们用定积分来解决平面图形的面积：旋转体体积；平面曲线的弧长；由边际函数求总函数等问题

一、二重积分的概念与性质 回忆一元定积分的定义. 我们用定积分来解决平面图形的面积； 旋转体体积；平面曲线的弧长；由边际函 数求总函数等问题．

二重积分的定义、问题的提出柱体的体积柱体体积=底面积×高特点：平顶柱体体积=？曲顶特点：「1曲顶柱体的体积如何求？

一、问题的提出 二重积分的定义 柱体体积=底面积×高 特点：平顶 柱体体积=？ 特点：曲顶. 柱体的体积 曲顶柱体的体积如何求？

2550.50.55椭球球体，马鞍面与坐标面围成立体的体积又如何求解呢

椭球球体，马鞍面与坐标面围成立体的体 积又如何求解呢．

曲面zf(xy）为顶区域D为底X曲顶柱体的特点：以xOv坐标面中的有界闭区域(定义域)D为底，以D的边界曲线为准线,平行于z轴的直线为柱面母线，曲面z=f(x,J)为顶的柱体

曲顶柱体的特点：以 坐标面中的有界闭区 域 定义域 为底，以 的边界曲线为准线 平 行于 轴的直线为柱面母线，曲面 为顶的柱体 ( ) , ( , ) . xOy D D z z f x y = 区域D为底 曲面z=f (x,y)为顶

求曲顶柱体体积的步骤如下：一、分割（化整为零）二、以平代曲;三、求和（积零为整）;四、取极限

求曲顶柱体体积的步骤如下： 一、分割（化整为零）； 二、以平代曲； 三、求和（积零为整）； 四、取极限

二重积分的概念定义设函数f(x,y)在有界闭区域D上有定义，将闭区域D任意分成n个小闭区域△α,，△2，…,△,，其中△表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个△,上任取2一点(x,y)，作乘积f(x,yi)△;，(i=1,2,,n)，作和式(3)(4)im之(5,n)A0:极限存在，ZF(5,n:)A6,,当2→0时,i=l则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记为Zf(5,n)A0;[J f(x, y)do = lim)2-→0i=1D

(1) (2) (4) 定义 设函数 f (x, y)在有界闭区域D上有定义，将闭 区域D任意分成n个小闭区域 1， 2 , ， n ，其中 i 表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个 i 上任取 一 点( , ) i i x y ，作乘积 ( , ) i i f x y  i，(i = 1,2,  ,n)，作和式 i i n i i  f    = ( , ) 1 ，当 →0时， 0 1 lim ( , ) n i i i i f     → =   极限存在， 二重积分的概念 则称此极限为函数 f (x, y)在闭区域 D 上的二重积分，记为 d 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i D i f x y f      → =  =   . (3)

Z r(5, n,)o;dd= lim(x, y2-→0i=1D积分区域积分变量被积表达式面积元素积分和被积函数

d 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i D i f x y f      → =  =   积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素

对二重积分定义的说明：(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的。(2)当,f(x,y)在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在可微必连续，连续必可积

(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分 是任意的. (2)当 f (x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明： 可微必连续，连续必可积

二重积分的几何意义当f(x,y)≥ 0时『 (x,J)do表示以区域DD为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积Y更特殊的,当f(x,J)=1时do表示以区域DD为底，以曲面z=1为顶的平顶柱体的体积(即底面积g×高1)dq=g.D

二重积分的几何意义 d 表示以区域 为底，以曲面 为顶的曲顶柱体的体积 ( , ) ( , ) . D f x y D z f x y  =  当f x y ( , ) 0  时， 更特殊的， 当 ( , ) 1时， d 表示以区域 D f x y =   为底，以曲面 为顶的平顶柱体的体积 （即底面积 高 ） 1 1 . D z  =  d . D  = 