《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第九章 含变化率的方程问题——微分方程浅说 9-3 几个有趣的实例——若干应用模型

第三节几个有趣的实例一一若干应用模型主要内容：单种群模型与人口问题遗体死亡年代测定问题二、三、天刑事侦察中死亡时间的鉴定问题

主要内容: 一、单种群模型与人口问题 二、遗体死亡年代测定问题 三、刑事侦察中死亡时间的鉴定问题 第三节 几个有趣的实例 若干应用模型

单种群模型与人口问题为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长动植物种群数量本身是个离散变量，不涉及连续性及可微的问题.但由于我们考虑的主要问题一一种群的增量相对全体数量是很微小的.于是，我们可以用微分模型来研究单种群数量的问题

一、单种群模型与人口问题 动植物种群数量本身是个离散变量，不涉 及连续性及可微的问题.但由于我们考虑的 主要问题 种群的增量相对全体数量是很 微小的.于是，我们可以用微分模型来研究 单种群数量的问题. 为了保持自然资料的合理开发与利用，人 类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制 人类自身的增长

18世纪晚期，人类首次关注人口规划问题指数模型及Logistic模型在人口、经济、医学、生态环境领域都有很好的应用世界人口数量统计数据：年1625183019601974198719991930人口5205010304060(亿)中国人口数量统计数据：年19081933195319641982199020004.73.06.07.210.311.312.95人口

18世纪晚期，人类首次关注人口规划问题. 指数模型及Logistic模型在人口、经济、医 学、生态环境领域都有很好的应用. 世界人口数量统计数据： 人口 5 10 20 30 40 50 60 (亿) 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 中国人口数量统计数据： 人口 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.95 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000

英国经济学家马尔萨斯(Malthus,ThomasRobert1766一1834)是人口理论的创始人.他认为人口的相对增长率是常数可分离变量的微分方程（指数模型）Malthus人口模型dpa>0,ap,设时刻的人口数为p(t)dtp(t,) = Po.这个初值问题的解为p(t) = Prea(t-0)1

英国经济学家马尔萨斯(Malthus, Thomas Robert, 1766—1834)是人口理论的创始人.他认为人口的相对 增长率是常数. Malthus人口模型（指数模型） 设t p t 时刻的人口数为 ( )， d d 0 0 , 0, ( ) . p ap a t p t p   =    =  可分离变量 的微分方程 e 0 ( ) 0 ( ) . a t t p t p − = 这个初值问题的解为

Malthus人口模型的不足之处p(t) = Peea(t-t)lim p(t) = lim Peea(t-0) = +oo.to0t->oo根据生物学常识判断，人口不可能无限制的增大.因为最终人口的拥挤产生的效应如：移民、疾病、战争等，都必将是人口的增长受到抑制

Malthus人口模型的不足之处： e 0 ( ) 0 ( ) , a t t p t p − = lim ( ) t p t → e 0 ( ) 0 lim a t t t p − → = = +. 根据生物学常识判断，人口不可能无限制 的增大.因为最终人口的拥挤产生的效应， 如：移民、疾病、战争等，都必将是人口的 增长受到抑制

Malthus人口模型的修正一一Verhulst模型1837年荷兰生物数学专家Verhulst考虑了单种群间的冲突乃至残害现象，得出下述单种群数学模型，dp=(a-bp)p, 其中a,b为常数，称作生命系数dtp(to) = Po,相对增长率不是一个常数这个初值问题的解为a(t-to)ap.ep(t) =a- bp, + bpea(t-)

Malthus人口模型的修正——Verhulst模型 1837年荷兰生物数学专家Verhulst考虑了单 种群间的冲突乃至残害现象，得出下述单种群 数学模型. d d 0 0 ( ) , ( ) , p a bp p t p t p   = −    = 其中a b, 为常数，称作生命系数. 相对增长率不 是一个常数 a bp − e e 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) . a t t a t t ap p t a bp bp − − = − + 这个初值问题的解为

应用Verhulst模型求我国人口极限appe(t-0)Verhulst模型的特解为 p(t)=a-bp, + bp,ea(-)取极限lim p(t) = :t→8011980年5月1日，我国公布的人口总数为p=97092万人，人口出生率a=0.029,人口相对增长率为a-bp =1.45%a-bp= 0.0145+0.029- b×9.7092×108 = 0.0145b ~ 1.49 ×10-11.a~19.4(亿)lim p(t) =bt→>80

应用Verhulst模型求我国人口极限 e e 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) . a t t a t t ap p t a bp bp − − = − + Verhulst模型的特解为 lim ( ) . t a p t → b 取极限 = 1980年5月1日，我国公布的人口总数为p=97092 万人，人口出生率a=0.029,人口相对增长率为 a bp − = 1.45%. a bp a − = 0.0145 8 p 0.029 9.7092 10 0.0145 −   = b 11 b 1.49 10 . −   lim ( ) 19.4( ) 亿 t a p t →  b = 

遗体死亡年代测定问题测定考古发掘生物年龄最精确的方法之一，是大约在1949年W.Libby发明的碳-14(14C)年龄测定法，其主要原理是利用考古木炭样品中的放射性碳(14C)的原子衰变速率与现在木炭样品中的14C的衰变速率的差异来测定考古的年代

测定考古发掘生物年龄最精确的方法之一， 是大约在1949年W.Libby发明的碳 14(14C)年龄 测定法，其主要原理是利用考古木炭样品中的 放射性碳( 14C)的原子衰变速率与现在木炭样品 中的14C的衰变速率的差异来测定考古的年代. 二、遗体死亡年代测定问题

例11956年，在我国西北某地发现了新石器时代居民遗址，从遗址发掘的考古物木炭样品中测得每克木炭每分钟14C的平均衰变数为3.06,试估计考古年代k=-a解：设p(①)是考古"在的14C衰变率，则有指数模型dp(t)In2= -kp(t),式中k是衰变常数,k=dt5568p(0) = 6.68个 /(g.min)In2i-k(t-to)5568特解为 p(t)= Pre6.68eIn2根据题意p=3.0655683.06 = 6.68e反解t3.065568t=-n=→ t =-6271.33(年).In 26.68综上，年代为公年前4315.33：6271.33-1956=4315.33

例1 1956年，在我国西北某地发现了新石器时代居民 遗址，从遗址发掘的考古物木炭样品中测得每克木炭 每分钟14C的平均衰变数为3.06 ,试估计考古年代. 设p(t)是考古物木炭样品现在的14C衰变率，则有 d d 个 ( ) ( ), (0) 6.68 /( .min). p t kp t t p g   = −    = 解： ln2 . 5568 式中k是衰变常数， k = − k= －a 指数模型 e 0 ( ) 0 ( ) k t t p t p − − 特解为 = e ln2 5568 6.68 . − t = p = 3.06 e ln2 5568 3.06 6.68 − t 根据题意 = 3.06 5568 反解t ln 6.68 ln 2 t = −   = − t 6271.33 . （年） 6271.33 1956 4315.33 − = ，综上，年代为公年前4315.33

三、刑事侦察中死亡时间的鉴定问题17世纪未至18世纪初，牛顿发现在较小的温度范围内，物体冷却速率正比于该物体与环境温度的差值，因而得下面的冷却模型dH:-k(H-T),dtH(0)= H.式中H(t)为物体时刻的温度，T是环境温度k为正的常数，H为物体在t0时刻的温度，其解为iH(t) =(H, -T)e-kt + T

三、刑事侦察中死亡时间的鉴定问题 17世纪末至18世纪初，牛顿发现在较小的温 度范围内，物体冷却速率正比于该物体与环境 温度的差值，因而得下面的冷却模型 d d 0 ( ), (0) . H k H T t H H   = − −    = 式中H(t)为物体t时刻的温度，T是环境温度， k为正的常数，H0为物体在t=0时刻的温度，其 解为 e 0 ( ) ( ) . kt H t H T T − = − +