《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）定积分的定义

定积分的定义定义设f(x)是定义在区间[a,bl上的有界函数,用点a=xo<x, <x, <.….<xn-1 <x,= b将区间[a,b]任意分割成n个子区间[x;-1,x;I(i=1,2…),这些子区间及其长度均记作△x = x;-x;-(i=1,2,,n),在每一子区间Ax,上任取一点5,作n个乘积f(5,)Ax,的和式以直代曲Z f(5)Ar,.求和i-1

设 是定义在区间 上的有界函数 用点 将区间 任意 分割成 个子区间 这些子区间及 其长度均记作 在每一子 区间 上任取一点 作 个乘积 的和式 0 1 2 1 1 1 ( ) [ , ] , [ , ] [ , ]( 1,2 ), ( 1,2, , ). , ( ) n n i i i i i i i i i f x a b a x x x x x b a b n x x i x x x i n x n f x   − − − =      = =  = − =   定积分的定义 1 ( ) . n i i i f x  =   定义 以直代曲 求和

取极限如果当n→,同时最大子区间的长度=max[△x,}→0时,和式,f(5,)Ax,的极限存在,并且其极限值与[a,b的i=1分割法以及=的取法无关,则该极限值称为函数f(x)在区间[a,b上的定积分，记作：积分和积分上限Zf(5,)Ax;f(x)d= lim即积分下限被积函数积分变量被积表达式[a,b]积分区间

被 积 函 数 被 积 表 达 式 [a,b]积分区间 积分上限 积分下限 1 ( , max{ } 0 , , [ , ] , ( ) [ , ] , : ) n i i i i i n x a b f x a b f x    = →   →  =  如果当 同时最大子区间的长度 时 和式 并且其极限值与 的 分割法以及 的取法无关 则该极限值称为函数 在 区间 上的定积分 极限存在 记作 的 1 ( 0) ( ) lim ( ) n b i i a n i f x x f x   →  → =  d =   积 分 变 量 积分和 f x( ) x 取极限 即

曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线y= f(x)(f(x)≥O)x轴与两直线x=a,x=b所围成yy= f(x)A=?ba0x

曲边梯形求面积的问题 a b x y o A = ? y = f (x) 曲边梯形由连续曲线 轴与两直线 , 所围成. y f x f x ( )( ( ) 0), x x a x b =  = =

1.分割；3.取极限2.近似求和；典型小区域面积dsy= f(x)bax底+dxxdx用矩形面积近似f"f(x)dxI小曲边梯形面积

a b x y o y = f (x) x x x +d 用矩形面积近似 小曲边梯形面积 f x( ) 高 典型小区域面积 dS d d S f x x = ( ) 1. 分割； 2. 近似求和； 3. 取极限. b a 底 dx S = a b x y o y = f (x)