《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第一章 行列式 1-6 行列式按行（列）展开

行到式第六节行列式按行（列）展开余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开法则三、小结思考题

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、余子式与代数余子式例如aia12a13a11a2233+ a12^23l311 +a13a21a32a23(21a22— 11a23a32 — a12a21a33 - a13a22l31,a33a32(31= aii(a22a33 a23a32)+ a12(a2331 - a21a33 + a13(a21a32 -a22a31)a21a22an1a23a123a23+a13=an一a12a33a31a33a31a33a32上页下页反回

1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1, 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 例如 ( ) = a11 a22a33 − a23a32 ( ) + a12 a23a31 − a21a33 ( ) + a13 a21a32 − a22a31 3 1 3 3 2 1 2 3 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 a a a a a a a a a a a a a a = a − + 一、余子式与代数余子式

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH在n阶行列式中，把元素a；所在的第i行和第j列划去后，留下来的 n－1 阶行列式叫做元素αj的余子式，记作 M，记 A, = (-1)+I M,,叫做元素a；的代数余子式例如aia12a14dad.5M23 = a31 α32α34D=a3113432i3sa41a42a44a41at43(LA4a42A23 = (- 1)2+3 M 23 = -M 23.上页国下质

在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 n aij i j n −1 aij M . ij 记 ( ) ij， i j Aij M + = − 1 叫做元素 aij 的代数余子式． 例如 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M23

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHPa21a24a23a21ain2a23Qi24D=M12 =a31 a33a34a31a33ai34a32a41a43a44............A12 = (- 1)+ M12 = -M12a11a12a13M44 = a21 a22 a23, A4 =(-1)+++M44 = M44,a31a32a33行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式上页反回下页

, 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = , 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − . = −M12 , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( 1) . 44 44 4 4 A44 = − M = M + 个代数余子式. 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除a外都为零，那未这行列式等于a.与它的代数余子式的乘积，即D=a,A,aila12a13a14a21a23a24a22例如 D =-000a33a41a42a43a44aia12a14=- (- 1)3+3 a33 a21a22a24a41a42a44上页下页回

引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有 元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的 代数余子式的乘积，即 D = aijA．ij n i ij a ij a 41 42 43 44 33 21 22 23 24 11 12 13 14 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a D = ( 1) . 41 42 44 21 22 24 11 12 14 33 3 3 a a a a a a a a a a + = − 例如

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH证　当‘j位于第一行第一列时,00aa21(22a2nD=......anan2amn即有 D=anMi1又Ali =(-1)+M.= M11务从而 D=auAl在证一般情形，此时上页下页发回

证 当 ij 位于第一行第一列时, a n n nn n a a a a a a a D       1 2 21 22 2 11 0 0 = 即有 . D = a11M11 又 ( ) 11 1 1 A11 1 M + = − , = M11 从而 . D = a11A11 在证一般情形, 此时

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHalainaj00D=di·..ananni把D的第行依次与第i一1行,第i一2行,第1行对调00W..得 D =(-1)-1ai-1.1al;-1,jai-1,n...aanannn上页下页友回

n nj nn ij j n a a a a a a a D             1 11 1 1 = 0 0 把D的第i行依次与第i −1行,第i − 2行,第1行对调, 得 ( ) n nj nn i i j i n ij i a a a a a a a D             1 1,1 1, 1, 1 0 0 1 − − − − = − ij a ij a

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH再把D的第列依次与第i-1列,第i-2列,第1列，得对调,0HD =(-1)-1 (-1)-l ai-1,jal;-1,j-1ali-1,naanjan,j-1nn上页回下页

, 1 , 2 , 1 对调 再把D的第j列依次与第j − 列 第j − 列 第 列 得 ( ) ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a D             , 1 1, 1, 1 1, 1 1 0 0 1 1 − − − − − − − = −  − ij a

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH01.=(-1)+j-2a;-1,jai-1,na;-1,j-1?·.·amnanjan,j-100ai.:=(-1)+i1a;-1,jai-1,na;-1,j-1:...annanan,j-1上页下页反回

( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a             , 1 1, 1, 1 1, 2 0 0 1 − − − − − + − = − ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a             , 1 1, 1, 1 1, 0 0 1 − − − − − + = − ij a ij a

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH00Mi.中的元素a,在行列式ai-1,jai-1,nai-1,j-1.anjamman,j-1余子式仍然是a,在an1ajain.中的余子式Mj0..0D=i...anlaninn上页友回下页

n nj nn ij j n a a a a a a a D             1 11 1 1 = 0 0 中的余子式 . Mij 余子式仍然是 在 元素 在行列式 中的 ij nj n j nn i j i j i n ij ij a a a a a a a a a             , 1 1, 1, 1 1, 0 0 − − − − − ij a ij a