《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第二章 微积分的直接基础——极限 2-3 极限应用的一个例子——连续函数

第三节连续函数极限应用的一个例子主要内容：连续函数的概念初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质

第三节 极限应用的一个例子——连续函数 主要内容： 一、连续函数的概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质

连续函数连续函数是微积分研究的主要对象增量的定义设函数y=f(x)的定义域是X,当自变量从定点x变化到新的点x时,它们的差称为自变量的增量(或叫做改变量).记做Ax = x-x,,自然x = x, + △x.对应的函数值由f(x)V其差变化到f(x。+△x),y= f(x)Ay = f(x + △x)- f(xo)AyAx称作函数的增量...x0X +Arxo即Ay= f(x)-f(x)

一、连续函数 连续函数是微积分研究的主要对象. 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). y f x x f x y f x f x f x f x x  = +  −   − + = 对应的函数值由 变化到 ，其差 称作函数的增量， 即 增量的定义 设函数 y = f (x)的定义域是X,当 自变量从定点 x0 变化到新的点x 时,它们的差 称为自变量的增量(或叫做改变量).记做 0 0 x x = − = x x x x , . 自然 +  x y o y = f (x) x 0 x x + x 0 y

注意：△x可能是正的，也可能是负的.比如：xo = 2,x = 1.5;△x = x - x。 = -0.5 0

注意:Δx可能是正的,也可能 是负的.比如： 0.5 0 1, 1.5; 0.5 0 2, 1.5; 0 0 0 0  = − =  = =  = − = −  = = x x x x x x x x x x

下面的问题帮助我们理解连续的定义：一f(x)=x+1-g(x)=x-1.......xx01102limf(x) = lim(x+1)= f(1).二x-→1x→1从图形看f(x)的曲线在x=1处是连续的x-1lim(x +1)2lim g(x) = limx-1x-→>ix-→1 x>尽管f(x),g(x)在x=1点的性质不同,但当x一→1时，它们的极限却是一样的

下面的问题帮助我们理解连续的定义： = → lim ( ) 1 f x x = f (1). 1 lim( 1) . 2 x x → + = 从图形看f x x ( ) 1 的曲线在 = 处是连续的. 1 1 2 lim ( ) lim 1 x x 1 x g x x → → = − − = 1 lim( 1) 2 x x → + = ( ) 1 , ( ) 1 , . g x x g x x = = 而 在 处没有定义 从图形看 的曲线在 处是不连续的 是间断的 ( ), ( ) 1 , 1 , f x g x x x = → 尽管 在 点的性质不同 但当 时 它们的极限却是一样的. f x x ( ) 1 = + o x y 1 。 2 1 ( ) 1 x g x x − = − x o y 1

连续函数的定义定义一设函数f(x）在U(xo,)内有定义,如果当自变量的增量x趋向于0时，对应的函数增量Ay也趋向于0，即lim Ay=0,Ar-→0或 lim[f(x+△x）-f(x,)l=0，那么就称函数Af(x)在点x,连续yy= f(x)也称x,是f(x)的连续点yArx01Xo +Arxo

连续函数的定义 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) , 0 0 lim 0 lim[ ] ( 0 ) x x f x U x x y f x f f x x x x x y x f   →  →    = + =  设函数（ ）在 内有定义 如 果当自变量的增量 趋向于 时，对应的函数 增量 也趋向于 ，即 ， 或 （ ）-（ ） ，那么就称函数 ， 也 定义一 （ ）在点 连续 是 的 称 连续点. x y 0 y = f (x) x x0 x0 + x y

这个定义可以帮助理解函数在一点连续的本质：自变量变化很小时，函数值的变化也很小y = f(x)连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. x y o y = f (x) 这个定义可以帮助理解函数在一点连续 的本质： 自变量变化很小时，函数值的变化也很小

在考虑函数的连续性时，我们一般分三步考虑：D先给定△x;2)求出y;3）考察当△x→0时，是否有△V→0

在考虑函数的连续性时，我们一般分三 步考虑： 1）先给定x； 2）求出y； 3）考察当 →  → x y 0时，是否有 0

例1 证明y= sinx在定义域内连续用定义一证明函数在某点x,连续分析与提示：考察当△x→0时，是需先求出△y,否△y→0.Bα+Bαsinα-sinβ=2cossin22ArAx证Ay = sin(x + △x) - sin x = 2cos(x +sin22AxArAx由于≤11≤cos(x +sinx|≤|xsin222Ax于是」Ay|=|2cos(x+Arsin22

例1 证明 y = sinx 在定义域内连续. 2 2 ) 1, sin 2 cos( x x x x      由于 + sinx  x x x x y x       = + 2 ) sin 2 于是 2cos( 2 )sin 2 sin( ) sin 2cos( x x y x x x x   证  = +  − = + 2 sin 2 sin sin 2cos       + − − = 0 0 0. x y x y   →  → 用定义一证明函数在某点 连续， 需先求出 ，考察当 时，是 分 否 析与提示：

AxAr于是|Ay|=|2cos(x+Axsin<22显然当△x→0时，Ay→0.0 ≤[Ay|≤Ax|→0因此y=sinx在定义域内连续

显然当 →x 0 , 时  →y 0. 因此 y = sinx 在定义域内连续. 0  y  x → 0 x x x y x       = + 2 ) sin 2 于是 2cos(

定义二设函数f(x）在U(xo,S)内有定义如果当x→x,时，f(x）的极限存在且等于f(x），即lim f(x)=f(x）x-→xo那么就称函数f(x）在点x,连续由定义一lim △y = 0f (x)Ax-→>0即 lim[f(xo ±Ar)- f(xo)] = 0Ar-→0lim[f(x) -f(x)]=0= lim f(x) =f(x,)x-→xox-→xo

0 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 x f x x f x  → 即 +  − = f (x) 0 0 0 0 0 0 ( , ) i , l mx x f x f x U x x x f x f f x f x x x → → 设函数（ ）在  内有定义 如果当 时，（ ）的极限存在且等于 （ ），即 ， 那么就 （ ）=（ ） 称函数（ ）在点 定义二 连续. 0 lim 0 x y  → 由定义一  = 0 0 0 0 lim[ ] 0 lim x x x x f x f x f x f x → → （ ）-（ ）=  （ ）=（ ）