《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第八章 多元函数微分法及其应用 8-4 多元复合函数的求导法则

第四节多元复合函数的求导法则一、多元复合函数求导法则二、小结思考题经济数学微积分

一、多元复合函数求导法则 二、小结 思考题 第四节 多元复合函数的 求导法则

一、多元复合函数的求导法则在一元函数微分学中，复合函数的求导法则起着重要的作用现在我们把它推广到多元复合函数的情形下面按照多元复合函数不同的复合情形，分三种情况进行讨论经济数学微积分

一、多元复合函数的求导法则 在一元函数微分学中，复合函数的求导法则 起着重要的作用. 现在我们把它推广到多元复合函数的情形. 下面按照多元复合函数不同的复合情形， 分三种情况进行讨论

1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 1 如果函数u=d(t)及v=(t)都在点 t可导，函数z= f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=fd(t),(t)l在对应点t可导且其导数可用下列公式计算：dzOz, duOz, dy+dtOv dtQu dt经济数学微积分

1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理 1 如果函数u = (t)及v = (t)都在点 可 导，函数z = f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导 数，则复合函数z = f [(t), (t)]在对应点 可导， 且其导数可用下列公式计算： t t d d d d d d z z u z v t u t v t   = +  

证明设t获得增量△t,则 △u = d(t + △t) - d(t)Av= y(t +At) -y(t);由于函数z= f(u,v)在点(u,)有连续偏导数OzOz.-Av+8,Au+8,Av,Az :Au+Quav当△u→0,v→0时,8→0,2 →0Oz.Oz.AzAuAvAuAv++&2+81△tAt△tQuOv△t△tAu→0, △v→0当△t→0时,AuduAvdyvAtdt△tdt化经济数学微积分

证明 则 u = (t + t) − (t),v = (t + t) −(t); 设 t 获得增量 t， 由于函数z = f (u,v)在点(u,v) 有连续偏导数 , 1 2 v u v v z u u z z  +  +     +    =   当u → 0，v → 0时，  1 → 0， 2 → 0 t v t u t v v z t u u z t z   +   +      +      =   1 2   当t → 0时， u → 0，v → 0 d , d u u t t  →  d , d v v t t  → 

Oz du, Oz dydz.AzlimdtQuQyAt->0 △tdtdt上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况z dyz dwdz.Oz du如dtOw dtOu dtOv dtu71DWdz称为全导数。以上公式中的导数dt经济数学微积分

0 d d d lim . d d d t z z z u z v t t u t v t  →    = =  +     上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 d d d d d d d d z z u z v z w t u t v t w t    = + +    u v w z t 以上公式中的导数 称为全导数. d d z t

例1 设z=uv+sint，而u=et， =cost,dz.求全导数dtOz dyaz dz_zdu解+atdt QudtOvdt=vet-usint+cost= et cost - et sint + cost= e'(cost - sint) + cost.经济数学微积分

例 1 设 z = uv + sint，而 t u = e ， v = cost， 求全导数 d d z t . 解 d d d d d d z z u z v z t u t v t t    =  +  +    ve u t t t = − sin + cos e t e t t t t = cos − sin + cos e (cost sin t) cost. t = − +

例2若可微函数f(x,J)对任意正实数满足f(ax,ay)= a*f(x,y)则称f(x,y)为k次齐次函数.证明k次齐次函数满足方程afaf.y)xaxay证设u=x,v=y,则由已知条件有等式f(u,v)=af(x,y)上述等式左边可以看作以u，V为中间变量为自变量的函数.等式两端对求导数，得经济数学微积分

例2 若可微函数 对任意正实数 满足 则称 f x, y ( ) 为k 次齐次函数.证明k 次齐次函数 f x, y ( )  ( ) ( ) k f x, y f x, y ,    = 满足方程 ( ) f f x y kf x, y . x y   + =   证 设 u x,v y, = =   则由已知条件有等式 ( ) ( ) k f u,v f x, y =  上述等式左边可以看作以 u,v 为中间变量  为 自变量的函数. 等式两端对 求导数，得

afdudvafkak-if(x,y),+OvdadaQu即afafkak-f(x,y),x+yOvQu上式对任意正实数都成立，特别取=1，即得证所证等式afafkf (x,y)7x+avQu微积分经济数学

即 ( ) k 1 f du f dv k f x, y , u d v d      − + =   ( ) k 1 f f x y k f x, y , u v    − + =   得证所证等式 上式对任意正实数  都成立，特别取  = 1 , 即 ( ) f f x y kf x, y . u v   + =  

2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果u=d(x,y)及v=y(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数,且函数z=f(u,v)在对应点(u,V)具有连续偏导数，则复合函数z=f[d(x,y),y(x,y)I在对应点(x,y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算OzOz OuOzOvQz.vOz OudzOu QyOv QyayOu axOv axax经济数学微积分

定理 2 如果u = (x, y)及v = ( x, y)都在点 (x, y)具有对x和 y的偏导数，且函数z = f (u,v) 在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f[(x, y),(x, y)]在对应点(x, y) 的两个 偏导数存在，且可用下列公式计算 2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形 y v v z y u u z y z     +     =   x v v z x u u z x z     +     =  

链式法则如图示OzOz.OzQuOv+avaxaxQuaxOzazazduavayduayaa经济数学微积分

u v x z y 链式法则如图示 =   x z    u z x u      + v z , x v   =   y z    u z y u      + v z . y v  