《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第六章 定积分及其应用 6-7 定积分的几何应用

第七节定积分的几何应用定积分的元素法一、平面图形的面积四、平行截面面积已知的立体的体积五、小结经济数学微积分

一、定积分的元素法 二、平面图形的面积 第七节 定积分的几何应用 三、旋转体的体积 四、平行截面面积已知的 立体的体积 五、小结

一、定积分的元素法回顾曲边梯形求面积的问题yt曲边梯形由连续曲线y= f(x)y= f(x)(f(x)≥0) x轴与两条直线x=a、0ab xx=b所围成。A= f(x)dx经济数学微积分

回顾 曲边梯形求面积的问题 ( )d b a A f x x =  一、定积分的元素法 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f (x)( f ( x)  0) 、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)

面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间[a,bl分成n个长度为△x,的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i个小窄曲边梯形的面积为△A，则A=△A.i=1(2）计算△A,的近似值 △A, ~ f(,)Ax；, E△x;直 A~Zf(5)Ax;（3）求和，得A的近似值i=1（4）求极限，得A的精确值nZ f(5)Ax; = (~ f(x)dxA= lim2-0i=1华经济数学微积分

面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间[a,b]分成n个长度为 i x 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i个 小窄曲边梯形的面积为Ai，则  = =  n i A Ai 1 . （2）计算Ai 的近似值 i i i A  f ( )x  i xi （3）求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A   f x =  （4）求极限，得A的精确值 i i n i A =  f x = → lim ( ) 1 0   ( )d b a = f x x 

面积元素提示若用△A 表示任一小区间dAV4[x,x+△x]上的窄曲边梯形的面积yt f(x)ZA，并取A~则A=f(x)dxEf(x)dx于是A～Ef(x)dxA= limoax x+dxbxf" f(x)dx.经济数学微积分

a b x yo y = f ( x ) 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x ]上的窄曲边梯形的面积， 则A =  A，并取  A f x x ( )d ， 于是A f x x   ( )d A f x x = lim ( )d  ( )d . ba = f x x  x x x + d dA 面积元素

当所求量U符合下列条件：（1）U是与一个变量x的变化区间a,b有关的量：（2）U对于区间a,b具有可加性，就是说，如果把区间a,b分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和：（3）部分量△U,的近似值可表示为f（)△x;就可以考虑用定积分来表达这个量U经济数学微积分

当所求量U 符合下列条件： （1）U是与一个变量x的变化区间a,b有关的量； （2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说，如 果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相应地分 成许多部分量，而U等于所有部分量之和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量U

元素法的一般步骤：1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b];2)设想把区间[a,bl分成n个小区间，取其中任一小区间并记为[x,x+dxl，求出相应于这小区间的部分量AU的近似值.如果AU能近似地表示为[a,bl上的一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作dU，即dU=f(x)dx;经济数学微积分

元素法的一般步骤： 1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2) 设想把区间[a,b]分成 n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[ , d ] x x x + ，求出相应于这 小区间的部分量U的近似值.如果U 能近 似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的 值 f (x)与dx的乘积，就把 f x x ( )d 称为量U 的元素且记作dU，即d ( )d U f x x = ；

3）以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在{" f(x)dx，即区间[a,b]上作定积分，得U=为所求量U的积分表达式这个方法通常叫做元素法应用方向：平面图形的面积，体积经济应用。其他应用。经济数学微积分

3) 以所求量U的元素 f x x ( )d 为被积表达式，在 区间[a,b]上作定积分，得 ( )d b a U f x x =  ，即 为所求量U的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积，体积。 经济应用。其他应用

平面图形的面积第一步：取其中任Vy= f(x)一小区间并记为[x,x+dx]，求出相应于这小区间的部分量A的近似值记作dA；xx+<xxb0adA=?如何用元素法分析？经济数学微积分

x y o y = f (x) a b 二、平面图形的面积 x x + x 第一步：取其中任 一小区间并记为 [ , d ] x x x + ，求出 相应于这小区间的 部分量A的近似 值记作dA； 如何用元素法分析？ dA＝？

平面图形的面积第一步：取其中任Vy= f(x)一小区间并记为[x,x+dx]，求出相应于这小区间的部分量AA的近似值，记作dA；xX+Axxb0aA ~ f(x)Ar如何用元素法分析？经济数学微积分

x y o y = f (x) a b 二、平面图形的面积 x x + x 如何用元素法分析？ A f (x)x 第一步：取其中任 一小区间并记为 [ , d ] x x x + ，求出 相应于这小区间的 部分量A的近似 值，记作dA；

平面图形的面积第一步：取其中任Vy= f(x)一小区间并记为[x,x+dx]，求出相应于这小区间的部分量AA的近似值，记作dA；x+zxxb0adA=f(x)dx如何用元素法分析？经济数学微积分

x y o y = f (x) a b 二、平面图形的面积 x x + x 如何用元素法分析？ d d A f x x ＝ ( ) 第一步：取其中任 一小区间并记为 [ , d ] x x x + ，求出 相应于这小区间的 部分量A的近似 值，记作dA；