《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第五章 不定积分 5-2 换元积分法

第二节换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法3三、小结思考题经济数学微积分

一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、小结 思考题 第二节 换元积分法

一、第一类换元法cos2xdx =(?)sin2x +C问题解决方法利用复合函数，设置中间变量过程令t=2x=dxdt.=2sin2x + Ccos 2xdx =cos tdt=sint222经济数学微积分

问题 cos d 2x x  = ( )sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x 1 2  = d d , x t cos d 2x x  1 2 = cos dt t  = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法

在一般情况下：设 F'(u)= f(u), 则 (f(u)du= F(u)+C.如果u=(x)（可微）dF[p(x)] = f[p(x)lp'(x)dx( f[p(x)lp(x)dx = F[p(x)]+C=[J f(u)dulu=(x)由此可得换元法定理微积分经济数学

在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 f u u F u C ( )d ( ) . = +  如果 u = (x) （可微） d [ ( )] [ ( )] ( )d F x f x x x    =   = + f x x x F x C [ ( )] ( )d [ ( )]      ( ) [ ( )d ] u x =  f u u = 由此可得换元法定理

设f(u)具有原函数，u=Φ(x)可导，定理1定理则有换元公式[ [p(x)]p'(x)dx = [] f(u)dulu=@(x)第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ [p(x)lp'(x)dx.注意：观察点不同，所得结论不同考虑「sin2xdx如何求解？经济数学微积分

设 f (u)具有原函数， f x x x [ ( )] ( )d   =  ( ) [ ( )d ] u x  f u u = 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g x x ( )d  化为 f x x x [ ( )] ( )d .    注意：观察点不同，所得结论不同. u = (x)可导， 则有换元公式 定理 定理1 考虑 sin2xdx如何求解？

解法1sin2xdx t = 2x,dx = -dt1sin tdtcost + Ccos2x + C:222解法2sin 2xdx2sin xcos xdx t = sinx,dt = cosxdx2tdt = t +c= (sinx) +C;sin2xdx t = cosx,dt = -sinxdx解法32sinxcosxdx二-2[ tdt = -t +C = -(cosx) +C.微积分经济数学

解法1 sin d 2x x  1 1 2 2 = = − + sin d cos t t t C  cos2 ; 2 1 = − x +C 解法2 sin d 2x x  = 2 sin cos d x x x  2 = = + 2 t t t c d  (sin ) ; 2 = x + C 1 2 2 t x x t = = ,d d t x t x x = = sin ,d cos d 解法3 sin d 2x x  = 2 sin cos d x x x  2 = − = − + 2 t t t C d  (cos ) . 2 = − x + C t x t x x = = − cos ,d sin d

7dx.求例1dx = In|x+ c3+2xx111解(3 + 2x)3+2x3+2x21dx(3 + 2x)'dx u=3+2x3+2x2J3+2x=lnu+C:du==In(3 + 2x) + C.2O2注：第一类换元法的中间变量可以不设出来，即直接令 f((x)p'(x)dx = [ f((x)dg(x),体现凑微分的思想微积分经济数学

例1 求 1 3 2 d . x + x  解 (3 2 ) , 3 2 1 2 1 3 2 1  +  + =  + x x x 1 3 2 dx + x  1 1 3 2 2 3 2 ( ) d x x x =  +  +  1 1 2 du u =  = lnu + C 2 1 ln(3 2 ) . 2 1 = + x + C u = 3+ 2x 1 d ln x x c x = +  ( ( )) ( ) ( ( )) ( )，体现凑微分的思想. 注：第一类换元法的中间变量可以不设出来，即直接令  f  x  x dx =  f  x d x

/dx.dx = In|x|+ C求例1 3+2xx1又解dx(3+2xdx3+2x23+2x1dl3-+2x涛微分253+2x=In |3+2x|+C2( f(ax + b)dx =f(ax + b)d(ax + b)一般地-经济数学微积分

1 3 2 dx + x  1 ln | 3 2 | . 2 = + + x C f ax b x ( )d +  ( ) 1 f ax b ax b ( )d a = + + 一般地  x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1  +  + =  ( x) dx  3 + 2 d( x) x 3 2 3 2 1 2 1  + + = d(3+ 2x) 例1 求 1 3 2 d . x + x  又解 1 d ln x x C x = +  凑 微 分

x求例2dx.0xx+l解dxdr0x11Jd(1 +x+x)(1 +x)11+C2(1 + x)1+x11+C1+x2(1 + x)经济数学微积分

例2 求 3 1 d . ( ) x x + x  解 3 1 d ( ) x x + x  3 1 1 1 d ( ) x x x + − = +  2 3 1 1 1 1 1 [ ]d( ) ( ) ( ) x x x = − + + +  C x x + + + + = − 2 2(1 ) 1 1 1 . 2(1 ) 1 1 1 2 C x x + + + + = −

1dx.求例3x(1 + 2ln x)11解dxd(lnx)x(1+ 2ln x)1 + 2lnx1d(1 + 2 ln x)1+2lnx2.=In|1+2In x|+C.2微积分经济数学

例3 求 1 1 2 d . ( ln ) x x x +  解 1 1 2 d ( ln ) x x x +  1 1 2 d(ln ) ln x x = +  1 1 1 2 2 1 2 d( ln ) ln x x = + +  1 ln |1 2ln | . 2 = + + x C

例4求xcosx'dx;dx:dx:dx:te+Inxdx.dx:x微分f[p(x)lp'(x)dx =( f[p(x)]dp(x)微积分经济数学

例4 求 2 2 1 1 1 1 1 1 d ; cos d ; d ; d ; ln ; . x x x x x x e x x x x x e x x e e e x dx dx e x − + + + +        f[(x)](x)dx = f[(x)]d(x) 凑微分