《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第七章 空间解析几何与向量代数 7-6 数量积、向量积

第六节数量积向量积一、向量的数量积二、向量的向量积三、小结思考题经济数学微积分

一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、小结 思考题 第六节 数量积 向量积

一、向量的数量积(scalar product)实例一物体在常力F作用下沿直线从点 M,移动到点 M,，以表示位移，则力F所作的功为(其中θ为 F与 的夹角)W-=|FlsIcose启示两向量作这样的运算，结果是一个数量定义向量a与b的数量积为a·ba.b=|alblcose(其中θ为ai与b 的夹角)经济数学微积分

(其中 为 F  与 s 的夹角) 启示 向量a 与b  的数量积为a b    a b | a || b | cos      = (其中 为a  与b  的夹角) 一物体在常力 F  作用下沿直线从点 M1 移 动到点 M2，以 s  表示位移，则力 F  所作的功为 W | F || s | cos   = 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 一、向量的数量积 (scalar product)

a.b=lablcosoa: IbIcosθ=Pri,b, Ialcosθ=Prj,a,.a.b=biPrj,a =la|Prj.b.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量积也称为“点积”、“内积”。经济数学微积分

a  b   a b | a || b | cos      = | | cos Pr j , a b b  = | | cos Pr j , b a a  = | | Pr jb   = a b b a | | Pr j . a = a b 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积

关于数量积的说明(1) a.a=ap.证 :0=0, a.a=aalcoso=ap(2) a.b=0 <←alb.证().b=0,la0,lb0,元..alb.0... cos0 = 0,.2'元:alb, ..0=:. cosO = 0.()2a.b=ablcos=0.仁微积分经济数学

关于数量积的说明： (2) a  b = 0    a b.   ⊥ () a  b = 0,    | a | 0,  | b | 0,  cos = 0, a b.    ⊥ (1) | | . 2 a a a     = () a b,    ⊥ cos = 0, a  b =| a || b | cos = 0.      = 0, | || | cos | | . 2 a a a a a      证   =  = 证  = , 2  , 2   =

数量积符合下列运算规律：（1）交换律：a.b=b.a;(2）分配律：(a+b).=a.+b.;(3）若为数：(aa).b=a.(ab)=a(a.b)若 、数：(a).(μub)=u(a.b)经济数学微积分

数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a;      =  （2）分配律： (a b) c a c b c;        +  =  +  （3）若  为数： ( a) b a ( b) (a b),         =   =   若  、  为数： ( a) ( b) (a b).        =  

，b=bi+bj+b,k设a=ai+a,j+ak,a.b=(ai+a,j+a,k).(bi+b,j+bk).iljlk, ..i.j=j.k=k.i=o,:ik=1,..i.i=j.j=k.k=la.b=abx+a,b,+a,b数量积的坐标表达式经济数学微积分

a a i a j a k, x y z     = + + b bx i by j bzk     设 = + + a  b =   (a i a j a k) x y z    + + (b i b j b k) x y z     + + i j k,     ⊥ ⊥ i  j = j  k = k  i = 0,       | i |=| j |=| k |= 1,     i  i = j  j = k  k = 1.       x x y y z z a  b = a b + a b + a b   数量积的坐标表达式

a.ba.b=allblcoso →cose二[allb'a.b+a,b,+a,b,cosO=a+a,+a?b+b,+b两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为alb=a.b.+a.b.+a.b.=0经济数学微积分

a b | a || b | cos      = , | || | cos a b a b        = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b    axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为

例1 已知=(1,1,-4)，b=(1,-2,2)，求（1）a.b;(2）a与b的夹角：（3）a在b上的投影解 (1) a.b =1.1+1.(-2)+(-4)·2 =-9.a,bx+a,b,+a,b(2) cosO =2b2+b.2+ba+0X13元V2'4a.b-3(3) a.b=biPrja..Pr ia1b1C经济数学微积分

例 1 已知a = − (1,1, 4)，b = − (1, 2,2)，求（1） a b    ； （2）a  与 b  的夹角；（3）a  在 b  上的投影. 解 a b   (1)  = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = , 2 1 = − a b b j ba     (3)  =| | Pr 3. | | Pr = −   = b a b j ba      = . 4 3

例 2证明向量c与向量(a·)b-(b·c)a垂直证[(a.c)b-(b.c)a].·c=[(a.c)b.c-(b.c)a.]=(c.b)[a.c-a]=0:. [(a.)b -(b.c)a]lc经济数学微积分

例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a       (  ) − (  ) 垂直. 证 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ] [(a c)b c (b c)a c]         =   −   (c b)[a c a c]       =   −  = 0 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ]⊥

二、向量的向量积 (vector product)实例设O为一根杠杆 L的支点，有一力 F作用于这杠杆上P点处.力 F与 OP的夹角为θ，力F对支点O的力矩是一向量 M，它的模1FIMH|OQFI0LOPIFIsingP0QM的方向垂直于OP与F所决定的平面，指向符合右手系，经济数学微积分

设O为一根杠杆 L的支点，有一力 F  作 用于这杠杆上 P 点处．力 F  与 OP的夹角为  ，力 F  对支点O的力矩是一向量 M  ，它的模 | M | | OQ || F |   = | OP || F |sin  = M  的方向垂直于OP 与F  所决 定的平面, 指向符合右手系. 实例 二、向量的向量积 L F  P Q O  (vector product)