《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第六章 定积分及其应用 6-1 定积分的概念

第一节定积分的概念定积分的定义存在定理四、几何意义五、小结思考题经济数学微积分

一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、几何意义 五、小结 思考题 第一节 定积分的概念

一、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积）yty= f(x)曲边梯形由连续曲线y= f(x)(f(x) ≥ 0)A=?x轴与两条直线x=a、baolxx=b所围成经济数学微积分

a b x y o A = ? 曲边梯形由连续曲线 实例1 （求曲边梯形的面积） y = f (x)( f (x)  0)、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成. 一、问题的提出 y = f (x)

用矩形面积近似取代曲边梯形面积baab0xox（四个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积。经济数学微积分

a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形面积和越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）

观察下列演示过程，注意当分割加细时矩形面积和与曲边梯形面积的关系3个分割点的图示1.（上和-下和）1.05556（积分近似值）播放经济数学微积分

观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放

曲边梯形如图所示，在区间[a,bl内插入若干个分点,a=x<xi<x2<<xn-1<x=b,把区间[a,bl分成ny个小区间[x;-1,x;],长度为△x,=x,-Xi-1;在每个小区间[x;-1,x,]xol a xiX-5X; xn-ib上任取一点引，以[x;-1,x,]为底，f(,)为高的小矩形面积为A, = f(5)Ax;经济数学微积分

曲边梯形如图所示， a b x y o  i x1 xi−1 xi xn−1 ; [ , ] [ , ] 1 1 − −  i = i − i i i x x x x x a b n 长度为 个小区间 ， 把区间 分成 上任取一点 ， 在每个小区间 i xi xi  [ , ] −1 i i xi A = f ( ) 以[xi−1 , xi ]为底，f (i )为高的小矩形面积为 a x x x x x b, [a,b] 0 1 2 n 1 n 个分点， = < < < L< − < = 在区间 内插入若干

曲边梯形面积的近似值为nA~ f(5)Ax;i=1当分割无限加细即小区间的最大长度a = max[Axi,Ax2,...Axn]趋近于零(a→0)时,nEf(5:)Ax;曲边梯形面积为 A=lim2→0i=1经济数学微积分

i n i A   f i x = ( ) 1  曲边梯形面积的近似值为 i n i A =  f i x = → lim ( ) 1 0   趋近于零 时， 当分割无限加细 即小区间的最大长度 ( 0) max{ , , } , 1 2 → =      x x L xn 曲边梯形面积为

实例2（收益问题）设某商品的价格P是销售量x的函数P= P(x)。求当销售量从α变到b时的收益为R多少？思路：把整个销售量段分割成若干小段，每小段上价格看作不变，求出各小段的收益再相加便得到整个收益的近似值，最后通过对销售量的无限细分过程求得收益的精确值。经济数学微积分

实例2 （收益问题） 设某商品的价格 P 是销售量 x 的函数 P = P(x)。求当销售量从 a 变到 b 时的收 益为 R 多少？ 思路：把整个销售量段分割成若干小段，每小 段上价格看作不变，求出各小段的收益再相加， 便得到整个收益的近似值，最后通过对销售量 的无限细分过程求得收益的精确值．

a=xo<xi <x2 <...<xn- <x, = b（1）分割Ax, = X, - Xi-IAR, ~ P(t)Ax;（2）近似部分收益值某销售量时的价格n(3）求和ZP(t,)ax;R~i=1A = max[Axi, x2,""-, Axn（4）取极限nZ P(t,)Ax;收益的精确值 R= lim1→0i=1微积分经济数学

（1）分割 a x x x x x b n n = < < < < < = 0 1 2 L −1 −1  = − i i i x x x i i i R  P( )x 部分收益值 某销售量时的价格 （3）求和 i i n i R  P x = ( ) 1  （4）取极限 max{ , , , } 1 2 n  = x x L x i n i i R = P x = → lim ( ) 1 0   收益的精确值 （2）近似

二、定积分(definite integral)的定义定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a=X<xi<x,<...<xn-1 <x,=b把区间[a,b分成n个小区间，各小区间的长度依次为在各小区间上任取Ax; = x; -xi-1, (i =1,2,..),一点,（5; Ax,），作乘积f(5,)Ax;(i=1,2,..),并作和S=()△x;,记=max{△xi,△x2,",△x,},如果不论对[a,b]经济数学微积分

设函数 f (x)在[a,b]上有界， 记 max{ , , , }  = x1 x2 L xn ，如果不论对[a,b] 在[a,b]中任意插入 若干个分点 a = x0 < x1 < x2 <L< xn−1 < xn = b 把区间[a,b]分成n个小区间， 各小区间的长度依次为 xi = xi − xi−1，(i = 1,2, L)， 在各小区间上任取 一点 i（ i xi）， 作乘积 i i f ( )x (i = 1,2, L), 并作和 i i n i S =  f x = ( ) 1  ， 二、定积分(definite integral)的定义 定义

怎样的分法，也不论在小区间[x;-1,x,]上点,怎样的取法，只要当→0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为积分和积分上限1EF(5)Ax;f(x)dx= I =lim20i=1积分下限积分变量积分区间被积表达式[a,b]-被积函数经济数学微积分

怎样的分法，( )d ba f x x I = =  i i n i f x = → lim ( ) 1 0   被积函数 被积表达式 积分变量 [ a , b ] 积分区间 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 点 i怎样的取法，只要当 → 0时，和S总趋于 确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f (x) 在区间[a,b]上的定积分， 记为 积分上限 积分下限 积分和