《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第七章 空间解析几何与向量代数 7-3 空间曲线及其在坐标面上的投影

第三节空间曲线及其在坐标面上的投影空间曲线的一般方程一、二、空空间曲线在坐标面上的投影三、小结思考题经济数学微积分

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线在坐标面上的投影 三、小结 思考题 第三节 空间曲线及其在坐标 面上的投影

一、空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线F(x,y,z)= 0G(x,y,z) = 07空间曲线的一般方程S2特点：由曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在V曲线上，不在曲线上的点x不能同时满足两个方程经济数学微积分

一、空间曲线的一般方程    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程. x o z y S1 S2 C 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 特点：

x2+y?=1例1方程组表示怎样的曲线？2x +3y +3z = 6解x2+y2=1 表示圆柱面,-0.500.50.50-0.52x+3y+3z=6表示平面，[x2+y2 =12x+3y+3z=6交线为椭圆。经济数学微积分

例1 方程组 表示怎样的曲线？    + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 解 1 2 2 x + y = 表示圆柱面， 2x + 3y + 3z = 6 表示平面，    + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 交线为椭圆

-x"-yTa'7= 1例2方程组表示怎样的曲线?(x-4解 z=a?-x?-V上半球面，圆柱面,24交线如图经济数学微积分

例2 方程组 表示怎样的曲线？      − + = = − − 4 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 a y a x z a x y 解 2 2 2 z = a − x − y 上半球面, 4 ) 2 ( 2 2 2 a y a x − + = 圆柱面, 交线如图

二、空间曲线在坐标面上的投影F(x, y,z) = 0设空间曲线的一般方程G(x, y,z)= 0消去变量7后得：H(x,y)= 0曲线关于xoy的投影柱面投影柱面的特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面经济数学微积分

   = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 消去变量z后得： H(x, y) = 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 设空间曲线的一般方程： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的特征： 二、空间曲线在坐标面上的投影

如图:投影曲线的研究过程空间曲线投影柱面投影曲线经济数学微积分

如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影柱面 投影曲线

空间曲线在xoy面上的投影曲线H(x,J) = 0Z=0类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影yoz面上的投影曲线xoz面上的投影曲线R(y,z) = 0[T(x,z) = 0x=0y=0经济数学微积分

类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影    = = 0 ( , ) 0 x R y z    = = 0 ( , ) 0 y T x z yoz 面上的投影曲线, xoz 面上的投影曲线,    = = 0 ( , ) 0 z H x y 空间曲线在 xoy 面上的投影曲线

x2 +y? +z2 =1例3求曲线在坐标面上的投影1z =20.5解（1）消去变量z后得00.530.40-0.5在xoy面上的投影为-0.5300.54,微积分经济数学

例3 求曲线 在坐标面上的投影.      = + + = 2 1 1 2 2 2 z x y z 解 （1）消去变量z后得 , 4 2 2 3 x + y = 在 xoy 面上的投影为 , 0 4 2 2 3      = + = z x y

(2）因为曲线在平面z=2所以在xoz面上的投影为线段372,<X2y=0（3）同理在yOz面上的投影也为线段137=Iy2,2x= 0微积分经济数学

所以在 xoz 面上的投影为线段. ; 2 3 , | | 0 2 1       = = x y z （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段. . 2 3 , | | 0 2 1       = = y x z （2）因为曲线在平面 上， 2 1 z =

例4求抛物面2+z2=x与平面x+2y-z=0的截线在三个坐标面上的投影曲线方程0.5解截线方程为11.520y?+z?=xx+2y-z=0如图,经济数学微积分

例4 求抛物面 y + z = x 2 2 与平面 x + 2y − z = 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 截线方程为    + − = + = 2 0 2 2 x y z y z x 解 如图