《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第七章 空间解析几何与向量代数 7-4 二次曲面

第四节二次曲面一、二次曲面二、小结思考题经济数学微积分

一、二次曲面 二、小结 思考题 第四节 二次曲面

一、二次曲面二次曲面：三元二次方程所表示的曲面。讨论二次曲面性状的方法：截痕法（methodofsections)用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌经济数学微积分

二次曲面：三元二次方程所表示的曲面。 讨论二次曲面性状的方法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 截痕法( method of sections) 一、二次曲面

1.椭圆锥面(a,b为正数）20在平面z=t上的截痕椭圆2X(1)z=t(bt)(at)?在平面x=0或v=0上的截痕为过原点的两直线。可以证明,椭圆(1)上任一点与原点的连线均在曲面上经济数学微积分

z x y 1.椭圆锥面 2 2 2 2 2 x y z a b + = z t = (1) 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 + = bt y at x , z = t 可以证明, 椭圆(1)上任一点与原点的连线均在曲面上. x y z O （a, b为正数） 在平面 上的截痕椭圆

伸缩变换在xOy平面上，把点M(x,y)变为点M'(x,ay)从而把点 M的轨迹C变为点M'的轨迹C'，称为把图形C沿v轴的方向伸缩a倍变为C".假如C为曲线F(x,y)=0,点M(xi,y)eC,点M变为点M(,),其中=X=,即=,=因为点 MeC，有 F(x,)=0, 故 F,)=0,因为点M(x,J2)的轨迹C'的方程为F()=0.华经济数学微积分

伸缩变换 在 xOy 平面上，把点 M x y ( , )变为点 M x y ( , ,  ) 从而把点 M 的轨迹 C 变为点 M的轨迹C ，称为把 图形 C 沿 y 轴的方向伸缩 倍变为C . 假如 C 为曲线 F x y ( , 0, ) = 点 M x y C ( 1 1 , , ) 点 M 变为 点 M x y ( 2 2 , , ) 其 中 2 1 2 1 x x y y = = , ,  即 1 2 1 2 1 x x y y , ,  = = 因 为 点 M C ， 有 F x y ( 1 1 , 0, ) = 故 2 2 1 F x y , 0,      =   因为点 M x y ( 2 2 , )的轨迹C 的方程为 1 F x y , 0.      =  

例如b把圆x+=α沿轴的方向伸缩倍，就变成Dx4=1椭圆a?62类似地，把空间图形沿yb轴伸缩=倍，就变成椭圆锥面t2-62经济数学微积分

例如 把圆 2 2 2 x y a + = 沿 y 轴的方向伸缩 b a 倍，就变成 椭圆 2 2 2 2 1. x y a b + = 类似地，把空间图形沿 y 轴伸缩 b a 倍，就变成椭圆锥面 2 2 2 2 2 . x y z a b + = x y z O

2.椭球面(Ellipsoid)C.椭球面与22x三个坐标面2Z.ba的交线：z= 022y7xZ6aCcxy=0x=0经济数学微积分

o z y x 2.椭球面 (Ellipsoid) 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 椭球面与 三个坐标面 的交线： , 0 1 2 2 2 2      = + = y c z a x . 0 1 2 2 2 2      = + = x c z b y , 0 1 2 2 2 2      = + = z b y a x

椭球面与平面z=z,的交线为椭圆b2CRIzikc同理与平面x=x,和y=yi的交线也是椭圆椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化经济数学微积分

椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 z = z1 的交线为椭圆 同理与平面 x = x1 和 y = y1 的交线也是椭圆.        = = − + − 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) z z c z c b y c z c a x | z | c 1

椭球面的几种特殊情况：22xN旋转椭球面(1)a=b,2aaC22NX由椭圆=1绕Z轴旋转而成。+a2+yXZ方程可写为+e2C旋转椭球面与椭球面的区别：与平面z=zi(z,<)的交线为圆经济数学微积分

椭球面的几种特殊情况： (1) a = b, 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z a y a x 旋转椭球面 1 2 2 2 2 + = c z a x 由椭圆 绕 z 轴旋转而成． 旋转椭球面与椭球面的区别： 1 2 2 2 2 2 + = + c z a x y 方程可写为 与平面 z = z1 (| | ) 的交线为圆. 1 z  c

1截面上圆的方程CZ.27.球面(2)a=b=c,+222aaa方程可写为 x2+y2+z?经济数学微积分

(2) a = b = c, 1 2 2 2 2 2 2 + + = a z a y a x 球面 . 2 2 2 2 x + y + z = a . ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2      = + = − z z c z c a x y 截面上圆的方程 方程可写为

3.单叶双曲面(Hyperboloid of one sheet)22N62ca（1）用坐标面xoy(z=0)与曲面相截截得中心在原点 0(0,0,0)的椭圆Vx=1baZ=0经济数学微积分

3.单叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 + − = c z b y a x （1）用坐标面 xoy(z = 0) 与曲面相截 截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.      = + = 0 1 2 2 2 2 z b y a x (Hyperboloid of one sheet)