《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第六章 定积分及其应用 6-5 定积分的分部积分法

第五节定积分的分部积分法分部积分公式一、二、小结思考题经济数学微积分

一、分部积分公式 二、小结 思考题 第五节 定积分的分部积分法

一、分部积分公式设函数u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续udv=[uv], -f'vdu.导数，则有定积分的分部积分公式(uv)'dx =[uv].(uv) = u'v+ uv',推导0[uv]' - f'u'vdx+uv'dx,["udv=[uv] -]"vdu经济数学微积分

设函数u(x)、v(x)在区间a,b上具有连续 导数，则有 d d   b b b a a a u v uv v u = −   . 定积分的分部积分公式 推导 (uv) = uv + uv ,  ( ) d ,   b b a a uv x uv  =    d d , b b b a a a uv u v x uv x = +     d d .   b b b a a a  = − u v uv v u   一、分部积分公式

1arcsin xdx.例1 计算0解令dy = dx,u = arcsinx,dx则du =V=x,V1-xxdx12Parei[xaresin -,1011元+2 63元元12212华经济数学微积分

例1 计算 1 2 0 arcsin d . x x  解 令 u = arcsin x, d d , v x = 2 d d , 1 x u x = − v = x, 1 2 0 arcsin dx x    2 1 = xarcsin x 0 1 2 0 2 d 1 x x x − −  2 6 1  =  1 2 2 0 2 1 1 d(1 ) 2 1 x x + − −  12  =   2 1 0 2 + 1− x 1. 2 3 12 = + −  则

xdx11例2计算01+cos2x解 1+cos2x =2cos2x,xdxxdxT元4d(tanx)20002cos21+ cos2xx[x tan x] -]1tanxdx2 Jo1In 2元元1seX108842馆经济数学微积分

例2 计算 解 π 4 0 d . 1 cos2 x x + x  1 cos2 2cos , 2  + x = x π 4 0 d 1 cos2 x x x  +  π 4 2 0 d 2cos x x x =  ( ) π 4 0 d tan 2 x = x    4 0 tan 2 1  = x x π 4 0 1 tan d 2 − x x    4 0 lnsec 2 1 8  −  = x . 4 ln2 8 −  =

In(1 + x)dx.例3 计算(2 + x)?0In(1 + x)解dx(2 + x)22+xIn(1 -dln(1 + x)2+x2+ x1In 21dx+311+x2+x1+x+x2In 2[In(1 + x) - In(2 + x)In 2- ln333VC经济数学微积分

例3 计算 解 1 2 0 ln(1 ) d . (2 ) x x x + +  1 2 0 ln(1 )d (2 ) x x x + +  1 0 1 ln(1 )d 2 x x = − + +  1 2 0 ln(1 )       + + = − x x 1 0 1 dln(1 ) 2 x x + + +  3 ln2 = − 1 0 1 1 d 2 1 x x x +  + +  x + x − + 2 1 1 1   1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln2 = − + + x − + x ln2 ln3. 3 5 = −

sint- dt, 求J, xf(x)dx.例4设 f(x)=tsint解国因为没有初等形式的原函数t无法直接求出,f(x)，所以采用分部积分法's(x)dx ="(x)d(x)[x] -'ra(n)-) -F(x)de微积分经济数学

例 4 设 求 解 2 1 sin ( ) d , x t f x t t =  10 xf x x ( )d .  因为 t sint没有初等形式的原函数， 无法直接求出 f (x)，所以采用分部积分法 10 xf x x ( )d  1 2 0 1 ( )d( ) 2 = f x x  1 2 0 1 ( ) 2 =   x f x   1 2 0 1 d ( ) 2 − x f x  (1) 21 = f 1 2 0 1 ( )d 2 − x f x x  

sintsinf(1) =: f(x) =dt.dt = 0.?2sin xsin xf'(x)2x :x=) -x(x)dxxf(x)dx :2sinx'dx2xsin x'dx2 Jo2J0[cos x*]- -(cos1-1).经济数学微积分

2 1 sin ( ) d , x t f x t t =  , 2sin 2 sin ( ) 2 2 2 x x x x x f  x =  = 1 0  xf x x ( )d  (1) 2 1 = f 1 2 0 1 ( )d 2 − x f x x   1 2 0 1 2 sin d 2 = − x x x  1 2 2 0 1 sin d 2 = − x x    1 0 2 cos 2 1 = x (cos1 1). 2 1 = − 1 1 sin (1) d 0, t f t t = = 

例5证明定积分公式元n xdxcos"sin"xdxJo3n-31元hn为正偶数242n-2n4 2n-3n-n为大于1的正奇数35n-2n证 设 u= sin"-1dv = sinxdx,x.du =(n-1)sin"-2 xcosxdx, v=-cosx,福经济数学微积分

例5 证明定积分公式 π π 2 2 0 0 sin d cos d n n n I x x x x = =   1 3 3 1 π , 2 4 2 2 1 3 4 2 , 2 5 3 n n n n n n n n n n  − −      − =  − −      − 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 sin , 1 u x n− = dv x x = sin d , 2 d ( 1)sin cos d , n u n x x x − = − v = −cos x

元2n-2-sinn-1I.=xcosxdx1xcosxsin01-sin’ x0Rsin"xdx -(n-sin" xdxL,=(1=(n -1)In-2 -(n -1)InT积分I关于下标的递推公式n3直到下标减到0或1为止-4n-n-n-2微积分经济数学

1 2 2 2 2 0 0 sin cos ( 1) sin cos d n n n I x x n x x x   − − = − + −      x 2 0 1− sin 2 2 2 0 0 ( 1) sin d ( 1) sin d n n n I n x x n x x   − = − − −   n n (n 1)I (n 1)I = − −2 − − 2 1 − − n = n I n n I 积分 In 关于下标的递推公式 2 4 2 3 − − − − n = n I n n I  , 直到下标减到0或1为止

5312m-12m-3I2m092m622m-24(m=1,2, ..)62m4.22m-2-2m+17532m+12m-1号A元I.dx11sin xdx = 1.200532m-12m-31元于是I2m64222m2m-22m6 422m-2/2m+13752m+12m-1OOC经济数学微积分

, 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 0 I m m m m I m     − −  − =  , 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 I m m m m I m     − −  + + =  (m = 1,2, ) 2 0 0 d , 2 I x   = =  2 1 0 I x x sin d 1,  = =  , 2 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2      − −  − =  m m m m I m . 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1     − −  + + =  m m m m I m 于是