《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第四章 中值定理与导数的应用 4-1 中值定理

第一节中值定理罗尔定理「i拉格朗日中值定理一三、柯西中值定理四、小结思考题经济数学微积分

一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 四、小结 思考题 三、柯西中值定理 第一节 中值定理

一、罗尔(Rolle)定理罗尔（Rolle）定理如果函数fx）在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那末在(a,b)内至少有一点(a<<b)，使得函数f(x)在该点的导数等于零即f()=0例如, f(x)= x2-2x-3 =(x-3)(x+1)在[-1,3]上连续，在(-1,3)上可导， 且f(-1)=f(3)=0,f'()= 0.: f'(x) = 2(x-1),取 =1, (1E(-1,3)经济数学微积分

一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且在区 间端点的函数值相等，即 f (a) = f (b),那末在 (a,b) 内至少有一点 (a    b) ,使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f  = (1) (2) (3) 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0.  f (x) = 2(x −1)

y几何解释：Cy= f(x)BA在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的30axS, b物理解释：变速直线运动在折返点处，瞬时速度等于零.点击图片任意处播放暂停经济数学微积分

点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在 折返点处, 瞬时速度 等于零. 几何解释: a 1  2 b x y o y = f (x) . , 的切线是水平的 少有一点 在该点处 在曲线弧 上至 C AB C A B

证：f(x)在[a,b]连续，必有最大值M和最小值m(1) 若 M = m.则 f(x)= M.由此得 f'(x)=0. VE(a,b),都有 f'()=0.(2)若M ±m: f(a)= f(b),：最值不可能同时在端点取得设 M ± f(a),则在(a,b)内至少存在一点专使 f()= M.: f(+Ax)≤ f(E),:. f(+△x) - f()≤0,福微积分经济数学

证 (1) 若 M = m.  f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0.  (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M  m.  f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M  f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M.  f ( + x)  f (),  f ( + x) − f ()  0

f(+ Ax)- f()若△x >0,则有≤0;1Arf(+△x)- f(E)若 △r<0，则有≥ 0;Axf(+ △x) - f(E)≥ 0;:. f'() = limArAr→-0f(+ △x) - f(E)≤0;limf*()=ArAx-→+0:f'()存在,: f'() = f(): 只有 f()= 0馆经济数学微积分

若 x  0, 0; ( ) ( )    +  −  x f x f 则有 若 x  0, 0; ( ) ( )    +  −  x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0    +  −     =  →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0    +  −    =  →+ + x f x f f x  f ()存在,  () = (). − + f f 只有 f () = 0

注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立例如, y=x,x E[-2,2];在[-2,2]上除,f'(0)不存在外,满足罗尔定理的一切条件,但在区间[-2,21内找不到一点能使 f'(x)=0.1 - x, x E (0,1]又例如,0, x=0y = x, x e[0,1]经济数学微积分

注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y = x , x[−2,2]; , [ 2,2] (0) , 的一切条件 在 − 上除 f  不存在外 满足罗尔定理 ( ) 0. [-2 2] 使 f  x = 但在区间 ， 内找不到一点能 ; 0, 0 1 , (0,1]    = −  = x x x y y = x, x[0,1]. 又例如

例1 证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根证： 设 f(x)= x5 -5x+1,则 f(x)在[0,1]连续由介值定理且 f(0) =1, f(1) =-3.日x。E(0,1),使f(x)=0.即为方程的小于1的正实根设另有x, E(0,1),x, ±xo，使 f(x,)=0.：f(x)在xo,x,之间满足罗尔定理的条件:至少存在一个号(在xo,x, 之间),使得 f'()=0.但 f'(x)=5(x4-1)<0,(xE(0,1)矛盾,:为唯一实根华经济数学微积分

例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证: ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0.  x0  使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1  x1  x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , ,  f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f  x = x −  0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根

拉格朗日中值定理二、(Lagrange's Mean-valueTheorem)拉格朗日中值定理如果函数f(x)(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)使等式内至少有一点(a<<b),成立f(b) - f(a) = f (E)(b-a)注意:与罗尔定理相比条件中去掉了 f(a)= f(b)f(b)- f(a)结论亦可写成= f'()b-a经济数学微积分

二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)(1)在闭区间 [a,b]上连续,(2)在开区间(a,b) 内可导,那末在(a,b) 内至少有一点(a    b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f  b − a 成立. 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) = f (b). ( ). ( ) ( ) =   − − f b a f b f a 结论亦可写成 (Lagrange’s Mean-value Theorem)

y几何解释：y= f(x)CBM在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的DN4切线平行于弦ABxS1Eb0ax证 分析：条件中与罗尔定理相差f(a)=f(b)y= f(a) + f(b)- (a)(x-a)弦AB方程为b-a曲线f(x)减去弦 AB所得曲线a,b两端点的函数值相等微积分经济数学

o a 1 x  2 b x y y = f (x) A B C N D M 几何解释: . , AB C AB 切线平行于弦 少有一点 在该点处的 在曲线弧 上 至 证 分析: 条件中与罗尔定理相差f (a) = f (b). 弦AB方程为 ( ). ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − − − = + 曲线 f (x) 减去弦 AB, 所得曲线a,b两端点的函数值相等

作辅助函数f(b)- f(a)F(x)= f(x)-[f(a)+(x-a)lb-aF(x)满足罗尔定理的条件则在(a,b)内至少存在一点,使得 F'()=0.即 F(E)- J(b)-f(a),0b-a拉格朗日中值公式或 f(b)- f(a)= f(E)(b-a)注意：拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系经济数学微积分

作辅助函数 ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) x a b a f b f a F x f x f a − − − = − + F(x)满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得 F() = 0. 0 ( ) ( ) ( ) = − −   − b a f b f a 即 f 或 f (b) − f (a) = f ()(b − a). 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系