《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第二章 极限 2-2 函数的极限

第二节函数的极限函数极限的定义二函数极限的性质三、小结思考题经济数学微积分

一、函数极限的定义 三、小结 思考题 二、函数极限的性质 第二节 函数的极限

一、函数极限的定义在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限下面，我们将主要研究以下两种情形：(1)自变量x任意接近于有限值x(x一→x.),对应的函数值 f(x)的变化情形;(2)自变量x的绝对值x无限增大(x一→)o),对应的函数值 f(x)的变化情形;经济数学微积分

一、函数极限的定义 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函 数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定 的数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。 下面，我们将主要研究以下两种情形： 对应的函数值 的变化情形； 自变量 任意接近于有限值 ) , ( ) (1) ( 0 0 x f x x x x → 对应的函数值 的变化情形； 自变量 的绝对值 无限增大 ) , ( ) (2) ( f x x x x  →

1：自变量趋于有限值时函数的极限问题:函数y=f(x)在x一→x.的过程中,对应函数值f(x)无限趋近于确定值Af(x)-A<ε表示f(x)-A任意小0<x-xl< 表示x→x,的过程88Xo-8xoxXo +8点x的去心8邻域8体现x接近x,程度经济数学微积分

1.自变量趋于有限值时函数的极限 问 题:函 数 y = f ( x)在 x → x0的过程中,对 应 函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A   表示 f (x) − A任意小; 0 .  x − x0   表示x → x0的过程 x0 −  x0 +  x x0   , 点x0的去心邻域 . 体现x接近x0程度

①定义1设函数f(x）在点x。的某一去心邻域内有定义，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数文8使得当x满足不等式00,>0,使当0<x-x8时恒有,f(x)- A<8.微积分经济数学

①定义 1 设函数 f (x) 在点 0 x 的某一去心邻域 内有定义，对于任意给定的正数  (不论它多么 小) ,总存在正数 ,使得当 x 满足不等式  −   0 x x0 时，对应的函数值 f (x) 都满足 不等式 f ( x) − A  ,那么常数 A就叫函数 f (x)当 x → x0 时的极限,记作 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 " − "定义 ( ) . 0, 0, 0 , 0 −        −   f x A x x 恒有 使当 时

注意：1.函数极限与f(x)在点x.是否有定义无关2.8与任意给定的正数有关②几何解释：yy= f(x)当x在x的去心邻A+8域时,函数y=f(x)A图形完全落在以直A-8线V=A为中心线sdx+8Xo-8Xo0宽为2ε的带形区域内.x显然,不唯一,也不需要取到最大的S经济数学微积分

②几何解释: y = f (x) A− A+ A x0 − x0 x0 +   x y 2 . o , , ( ) 0 宽为 的带形区域内 线 为中心线 图形完全落在以直 域时 函数 当 在 的去心 邻   y A y f x x x = = 注意： 1. ( ) ; 函数极限与f x 在点x0是否有定义无关 2.与任意给定的正数有关. 显然,并不唯一,也不需要取到最大的

例2 证明 lim C = C,(C为常数)x-→xo证任给ε>0，任取>0，当00，取=8,当0<x-xl<8=时,... lim x= xo.f(x)-A=x-xo<ε成立,x-→xo福经济数学微积分

例 2 lim , ( ). 0 证明 C C C为常数 x x = → 证 f ( x ) − A = C − C  成立 , 任给  0 , = 0 lim . 0 C C x x  = → 任取   0 , 0 , 当  x − x0  时 例 3 lim . 0 0 x x x x = → 证明 证 ( ) , x A x x0  f − = − 任给  0 , 取  =  , 0 , 当  x − x0   = 时0 f (x) − A = x − x  成立, lim . 0 0 x x x x  = →

22证明lim例4.2x→1 x-1证函数在点x=1处没有定义x2?:f(x) -A=2=x-任给ε>0,x-1只要取8=8,要使|f(x)-A<8,2北当0<xxl<时，就有< &.x-1x2.. limx-1x-1经济数学微积分

例4 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 证明 证 2 1 1 ( ) 2 − − − − = x x  f x A 任给  0, 只要取 = , 0 , 当  x − x0  时 函数在点x=1处没有定义. = x − 1 要使 f (x) − A  , 2 , 1 1 2 −   − − x x 就有 2. 1 1 lim 2 1 = − −  → x x x

例5证明：当x>0时,lim ~x=√xx→xox-x证 :f(x)-A=Vx-/xo0,要使Lf(x)-A<,只要x-x|</x,且不取负值.取=min[xo,x,8}当0<x-xl<8时，就有/x-/x。<8,.. lim /x = /x.x→xo经济数学微积分

例 5 lim . 0 0 x x x x  = → 证 0  f (x) − A = x − x 任给  0 , min{ , }, 0 0 取 = x x  0 , 当  x − x0  时 0 0 x x x x +− = 要使 f (x) − A  , , 0 就有 x − x   , 0 0 x x − x  . 只要 x − x0  x0  且不取负值 : 0 , lim . 0 0 0 x x x x x  = → 证明 当 时

3.单侧极限(one-sided limit)：V例如,y=1-xx0和x<0两种情况分别讨论x从左侧无限趋近xo，记作x→x。;x从右侧无限趋近xo，记作x→x;微积分经济数学

3.单侧极限(one-sided limit): 例如, lim ( ) 1. 1, 0 1 , 0 ( ) 0 2 =    +  −  = → f x x x x x f x x 证明 设 分x  0和x  0两种情况分别讨论 , x从左侧无限趋近x0 ; 0 − 记作x → x , x从右侧无限趋近x0 ; 0 + 记作x → x y o x 1 y = 1 − x 1 2 y = x +

左极限V>0,8>0,使当x。-0,>0,使当xxt注意:{x0<x-x<8)=(x0<x-x <8)U(x8<x-x <0华经济数学微积分

左极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 −       −    f x A x x x 恒有 使当 时 右极限 ( ) . 0, 0, , 0 0     −        + f x A x x x 恒有 使当 时 { 0 } { 0} :{ 0 } 0 0 0 =  −   −   −   −   x x x x x x x x x  注 意 lim ( ) ( ) . 0 0 f x A f x A x x = = − 记作 → − 或 lim ( ) ( ) . 0 0 f x A f x A x x = = + 记作 → + 或 (right-hand limit) (left-hand limit)