《高等代数》课程教学课件（讲稿）chapter one determinant

[section] [section] [section]常用数学符号·上下标：例：ai,bij,aij·连加和连乘：ai+a2+..+an通常记作r=1ai.aia2·.·an 记作"-i ai.由于这两种记号非常相似，下面只讨论连加号。请想一想，3表示什么意思，公式(a-y)" = a"-Chan-ly+Chan-2y?+.+(-1)"Cny"如何用符号表示？连加号i=1中的讠只起辅助作用，在实际的展开式中并不出现，上面表达式和nZajj-1是一样的。因此这个变量i有时也称“哑”变量(dummy)

[section] [section] [section] ~^êÆÎÒ • þeIµ ~µai , bij, aij • ë\Ú릵 a1 + a2 + · · · + an Ï~PŠ Pn i=1 ai . a1a2 · · · an PŠ Qn i=1 ai . duùü«PҚ~ƒq§e¡?Øë\ Ò" žŽŽ Pn i=1 i 3 L«Ÿo¿g§úª (x−y) n = x n−C 1 nx n−1 y+C 2 nx n−2 y 2+· · ·+(−1)nC n n y n XÛ^Σ ÎÒL«º ë\Ò X n i=1 ai ¥i å9ϊ^§3¢SÐmª¥¿ØÑ y§þ¡LˆªÚ X n j=1 aj ´"Ïdù‡Cþi kž¡/å0Cþ £dummy¤"

对于多重下标可进行多重求和，如mnZZaii=1 j-1表示(a1i+a12+.+aim）+(a21 +a22++a2m)+...+(an1 + an2 +... +anm).注意nmmnaij -aaijj=1 i-1=1=1nnMMaiji=1 =i(a11+a12 +...+ain)+(a22 +.. + a2n)+...+annjnZZaijj=l i=1

éuõ­eIŒ?1õ­¦Ú§X X n i=1 X m j=1 aij L« (a11 + a12 + · · · + a1m) +(a21 + a22 + · · · + a2m) + · · · +(an1 + an2 + · · · + anm). 5¿ X n i=1 X m j=1 aij = X m j=1 X n i=1 aij. X n i=1 X n j=i aij (a11 + a12 + · · · + a1n) +(a22 + · · · + a2n) + · · · +ann = X n j=1 X j i=1 aij

有时只对部分下标作连加，这时只要把条件写在符号下面就可以了。例如：Zai,i<jaibj.itj=n

kžéÜ©eIŠë\§ùž‡r^‡ 3Σ ÎÒe¡ÒŒ± "~Xµ X i<j aij, X i+j=n aibj

数学证明的几种常见方法·分情形讨论。Ck= Ch-l + Ckn-n-1n-1·数学归纳法。任何一个大于1的自然数可以分解成一些素数的乘积。·反证法。V2是无理数。素数有无限多个

êÆy²A«~„{ • ©œ/?Ø" C k n = C k−1 n−1 + C k n−1 . • êÆ8B{" ?ۇŒu 1 g,ꌱ©)¤ ƒê¦ È" √ • ‡y{" 2 ´Ãnê" ƒêkÁõ‡"

递归n!的值：1! = 1.当n>1时n!=n·(n-1)!·Fibonacci数列fn：fi = f2 = 1.当n>2时fn=fn-1+fn-2·设㎡是任意一个给定的自然数。ai=m.当n>1时，如果an-1是偶数则an=an-1/2,如果an-1是奇数则an=3an-1+1

48 • n! Šµ 1! = 1.  n > 1 ž n! = n · (n − 1)!. • Fibonacci ê fn : f1 = f2 = 1.  n > 2 ž fn = fn−1 + fn−2. •  m ´?¿‡‰½g,ê" a1 = m.  n > 1 ž§XJ an−1 ´óêK an = an−1/2, X J an−1 ´ÛêK an = 3an−1 + 1.

行列式的定义a11a12..aina21a22.a2n.anlan2...ann称为一个n阶行列式（determinant)。用递归的方式来定义行列式的值：当n=1时定义行列式的值为a11.设n>1.设1<i≤n,l≤j≤n.在行列式中划去第i行第i列后剩下的元素按原来的顺序构成的（n－1）阶行列式称为aii的余子式，将它的值记作Mi:将n阶行列式的值定义为(-1)i+laiMil2== a11M11 - a21M21 +... +(-1)n+laniMn1.记Aii=（-1)i+iMi，称为ai的代数余子式。则上面式子可以写成aiAi= a11A11+a21A21+..+an1Anl.行列式通常用一个大写字母表示，一般情况下该字母也代表行列式的值。有时也采用A=lail或A=lail1<ij<n这样简单的记号

1ª½Â         a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · an1 an2 · · · ann         ¡‡ n 1ª (determinant)" ^48ª5½Â1ªŠµ  n = 1 ž½Â1ªŠ a11.  n > 1.  1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n. 31ª¥y1i 11 j ￾eƒU5^S¤ (n − 1) 1 ª¡aij {fª§ò§ŠPŠ Mij . ò n 1ª Š½Â X n i=1 (−1)i+1ai1Mi1 = a11M11 − a21M21 + · · · + (−1)n+1an1Mn1. P Aij = (−1)i+jMij , ¡ aij ê{fª"Kþ¡ ªfŒ±¤ X n i=1 ai1Ai1 = a11A11 + a21A21 + · · · + an1An1. 1ªÏ~^‡Œi1L«§„œ¹eTi 1L1ªŠ"kžæ^ A = |aij | ½ A = |aij |1≤i,j≤n ù{üPÒ"

·当n=2时行列式的值是a11a22一a21a12.·当n=3时行列式的值是a22 a23a12a12a13a13a11+ a31- a21a22a23a32a33a32a33=a11(a22a33—a23a32)—a21(a12a33-a13a32)+a31(a12a23—a13a22)11a22a33+a12a2331+a21a32a13—a11a23a32—a12a21a33—a13a22a31

•  n = 2 ž1ªŠ´ a11a22 − a21a12. •  n = 3 ž1ªŠ´ a11     a22 a23 a32 a33     − a21     a12 a13 a32 a33     + a31     a12 a13 a22 a23     = a11(a22a33−a23a32)−a21(a12a33−a13a32)+a31(a12a23−a13a22) = a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31

行列式的性质形为a1la12.ain0a22...a2n...00ann的行列式叫做上三角行列式。也就是说ai=0对所有i>j成立。下三角行列式也可类似定义。元素a1,a22,…，amm构成行列式的主对角线

1ª5Ÿ /         a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n · · · 0 0 · · · ann         1ª‰þn1ª"Ò´`aij = 0 é¤k i > j ¤á"en1ªŒaq½Â"ƒ a11, a22, · · · , ann ¤1ªÌé‚"

引理0.1.设1≤k≤n.则下三角行列式中al的余子式仍是下三角行列式。如果k>1则a1的余子式的左上角元素为零。证明：将a1的余子式记作b11b12b1,n-1...b21 b22...b2,n-1bn-1,1bn-1,2.bn-1,n-1则aij+1 : i1时，b11 =12=0

Ún0.1.  1 ≤ k ≤ n. Ken1ª¥ ak1 {fª E´en1ª"XJ k > 1 K ak1 {fª†þ ƒ"" y²µòak1 {fªPŠ         b11 b12 · · · b1,n−1 b21 b22 · · · b2,n−1 · · · bn−1,1 bn−1,2 · · · bn−1,n−1         . K bij =  ai,j+1 : i 1 ž§ b11 = a12 = 0. ✷

性质1）上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积。证明：用数学归纳法。性质2）若行列式的某行或某列中的元素全是零，则行列式的值等于零。证明：对行列式的阶数n进行归纳。当n=1时a11=0.结论成立。假定性质对n-1阶行列式成立。设n阶行列式的第k列中元素全是零。若k=1.则行列式的值等于0A11+0A21+..+0An1=0若k>1.则根据归纳假设A11 = A21 = ..· = Anl = 0因此行列式的值等于零。再设n阶行列式的第k行中元素全是零。则ak1=0而根据归纳假设Ai=0对所有i≠k成立。因此aiAi1=0对1≤i≤n成立。所以行列式的值等于零

5Ÿ1¤þ£e¤n1ªŠuÌé‚þƒ ¦È" y²µ^êÆ8B{" 5Ÿ2¤e1ª,1½,¥ƒ´"§K1 ªŠu"" y²µé1ªê n ?18B" n = 1 ž a11 = 0. (ؤá"b½5Ÿé n − 1 1ª¤á"  n 1ª1 k ¥ƒ´""e k = 1. K1 ªŠu 0A11 + 0A21 + · · · + 0An1 = 0. e k > 1. KŠâ8Bb A11 = A21 = · · · = An1 = 0. Ïd1ªŠu"" 2 n 1ª1 k 1¥ƒ´""K ak1 = 0 Šâ8Bb Ai1 = 0 é¤k i 6= k ¤á"Ïd ai1Ai1 = 0 é 1 ≤ i ≤ n ¤á"¤±1ªŠu""✷