《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第一章 函数与集合 1-2 映射与函数

第二节映射与函数映射的概念/三逆映射与复合映射函数的概念四、函数的基本性态五、小结思考题经济数学微积分

一、映射的概念 第二节 映射与函数 二、逆映射与复合映射 三、函数的概念 四、函数的基本性态 五、小结 思考题

一、映射的概念设X与Y是两个非空集合，若对X1.定义一：中的每一个元素x，均可找到Y中唯一确定的元素y与之对应，则称这个对应是集合X到集合Y的一个映射，记为f，或者更详细地写f: X→Y将x的对应元y记作 f(x):xy=f(x经济数学微积分

一、映射的概念 1.定义一： 设X 与 Y 是两个非空集合，若对 X 中的每一个元素 x，均可找到 Y 中唯一确定的 元素 y 与之对应，则称这个对应是集合X 到集合 Y 的一个映射，记为f ，或者更详细地写 f ：X →Y 将 x 的对应元 y 记作 f (x): x  y = f (x)

并称y为映射f下x的像，而x称为映射f下y的原像(或称为逆像)．集合X称为映射f的定义域记作 D，=X，而 X的所有元素的像f(x)的集合(ylyeY, y=f(x),xeX)称为映射f的值域，记为R，(或f(X))经济数学微积分

并称 y 为映射 f 下 x 的像，而 x 称为映射 f 下 y 的 原像(或称为逆像). 集合 X 称为映射 f 的定义域， 记作 Df = X ，而 X 的所有元素的像f (x) 的集合 { y | yY , y = f (x) , x X} 称为映射 f 的值域，记为 R ( f (X) ) f 或

例1设A={商场中的所有商品，B=商场中商品九月份的销量！，则f: A→Bx→y（y是商品x九月份的销量）是一个映射,D,=A，R,=B经济数学微积分

例1 设 A={商场中的所有商品 }，B={商场中商 品九月份的销量 }，则 是一个映射， Df = A，Rf = B ( 是商品 九月份的销量 ) ： x y y x f A B → →

例2 设A={1，2，3}，B={4，5，6，7}，则f: A→Bf(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 6是一个映射,D, = A, R,={4,5,6}C B微积分经济数学

例2 设 A={1，2，3 }，B={4，5，6，7 }，则 是一个映射， Df = A，Rf = {4,5,6}  B (1) = 4 , (2) = 5 , (3) = 6 → f f f f ：A B

概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素：(1)集合X，即定义域D,=X;(2)集合Y，即限制值域的范围:R，CY;(3)对应法则f ：使每个xEX，有唯一确定的 y=f(x) 与之对应,需要指出的是：（1）映射要求元素的像必须是唯一的（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的经济数学微积分

有唯一 确定的 y=f (x) 与之对应. 概括起来，构成一个映射必须具备下列三 个基本要素： (1)集合 X ，即定义域 Df = X ； (2)集合Y ，即限制值域的范围：Rf  Y ； 使每个 x X ， 需要指出的是： （1）映射要求元素的像必须是唯一的. （2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的. (3) 对应法则 f :

2.定义二：设f是集合X到集合Y的一个映射，若f 的逆像也是唯一的，即对X中的任意两个不同元素xi2，它们的像y与y2也满足yi≠y2，则称f为单射；如果映射f满足R,=Y，则称f为满射；如果映射f既是单射又是满射，则称f为双射（又称一一对应）·经济数学微积分

2.定义二： 设 f 是集合X 到集合Y 的一个映射， 若 f 的逆像也是唯一的，即对X 中的任意两 个不同元素 x1 ≠x2 ，它们的像 y1 与 y2 也满 足 y1 ≠ y2 ，则称 f 为单射；如果映射 f 满足 Rf = Y ，则称 f 为满射；如果映射 f 既是单射， 又是满射，则称 f 为双射（又称一一对应 ）

二、逆映射与复合映射1.逆映射：如果映射f既是单射，又是满射，则对任一yER,CY,它的逆像 xEX(即满足方程f(x)=y的x)是唯一确定的，于是，对应关系g:R,→Xy>x (f(x)=y)构成了R,到X上的一个映射,称之为f的逆映射,记为f-l,其定义域为D,1= R,,值域为R,-I = X.经济数学微积分

二、逆映射与复合映射 1.逆映射：如果映射 f 既是单射，又是满射，则 的 是唯一确定的，于是，对应关系 对任一 它的逆像 即满足方程 ( ) ) , ( f x y x y Rf Y x X =    y x ( f (x) y) g Rf X = →  ： 构成了Rf 到 X 上的一个映射，称之为 f 的 , −1 逆映射， 记为 f 其定义域为 Df −1 = Rf ,值域为 R 1 X . f − =

例3 设A={1，2，3}，B={4，5，6}，则f: A→Bx→y=x+3既是单射，又是满射，存在逆映射f-: B→Ax→y=x-3微积分经济数学

例3 设 A={1，2，3 }，B={4，5，6}，则 既是单射，又是满射，存在逆映射 → = + 3 → x y x f ：A B 3 1 → = − − → x y x f ：B A

例4 设A=[0，元]，B=[一1，1]，则f: A→Bx → y=cosx既是单射，又是满射，存在逆映射f-: B→Ax→y=arccosx微积分经济数学

例4 设 A=[0，π]，B=[－1，1]，则 既是单射，又是满射，存在逆映射 x y x f A B → = cos ： → x y x f B A arccos 1 → = − ： →