上海师范大学：《线性代数》课程教学资源 Linear Algebra（讲稿，2/4）

向量空间（VectorSpace

向量空间 (Vector Space)

向量空间（VectorSpace）向量空间的基本概念

向量空间 (Vector Space) 向量空间的基本概念

特殊的向量空间上海饰境大学Shanghai Normal University定义45.空间Rn包含了所有如下的n维列向量vV1V:Vn其中对于任意的iE[n]ViER，这里的R是实数集。定义46空间Cn包含了所有如下的n维列向量yviV=[Vn其中对于任意的iE[n],ViEC,这里的C是复数集。136

特殊的向量空间 定义 45. 空间 R n 包含了所有如下的 n 维列向量 v：v =  v 1. vn  其中对于任意的 i ∈ [ n ] ， v i ∈ R，这里的 R 是实数集。 定义 46. 空间 C n 包含了所有如下的 n 维列向量 v：v =  v 1. vn  其中对于任意的 i ∈ [ n ] ， v i ∈ C，这里的 C 是复数集。 136

上海师坛大学向量空间的形式化定义（I）Shanghai NormalUniversit一个向量空间V是一个非空集合，其中的元素称之为向量，并且其满足以下两种运算：·向量加法：对于任意的u,vEV,u+vEV。·数与向量的乘法（数乘）：对于任意的uE和任意的实数cER，cuEV。137

向量空间的形式化定义 (I) 一个向量空间 V 是一个非空集合，其中的元素称之为向量，并且其满足以下两种运算： • 向量加法：对于任意的 u, v ∈ V，u + v ∈ V。 • 数与向量的乘法（数乘）：对于任意的 u ∈ V 和任意的实数 c ∈ R，cu ∈ V。 137

上海饰烧大学向量空间的形式化定义（I）0Shanghai NormalUniversit其中的加法满足如下的性质1.加法满足交换律：u+v=v+u2.加法满足结合律：u+(v+w)=(u+v)+w3.加法存在一个零元素（唯一的）O，其满足u+O=u对任意的uEV。4.加法存在一个负元素（逆元），即对于任意的uEV，存在一个vEV，使得u+V=O特别的，将v记为一u。138

向量空间的形式化定义 (II) 其中的加法满足如下的性质： 1. 加法满足交换律： u + v = v + u 2. 加法满足结合律： u + (v + w) = (u + v) + w 3. 加法存在一个零元素（唯一的）0，其满足 u + 0 = u 对任意的 u ∈ V。 4. 加法存在一个负元素（逆元），即对于任意的 u ∈ V，存在一个 v ∈ V，使得 u + v = 0， 特别的，将 v 记为 −u。 138

上海饰烧大学向量空间的形式化定义（I）Shanghai NormalUniversit其中的数乘满足如下的性质：5.数乘存在单位元1，使得1u=u对于任意的uEV。6.数乘满足结合律：Ci(C2u) = (C1C2)u7.数乘是线性的，即对于任意的cER和u,VEW均有：c(u+v) =cu+cv8.数乘对于加法满足分配律，即对于任意的c1,C2ER和uEV均有(ci+C2)u=ciu+c2u139

向量空间的形式化定义 (III) 其中的数乘满足如下的性质： 5. 数乘存在单位元 1，使得 1u = u 对于任意的 u ∈ V。 6. 数乘满足结合律： c1(c2u) = (c1c2)u 7. 数乘是线性的，即对于任意的 c ∈ R 和 u, v ∈ V 均有： c(u + v) = cu + cv 8. 数乘对于加法满足分配律，即对于任意的 c1, c2 ∈ R 和 u ∈ V 均有： (c1 + c2)u = c1u + c2u 139

上海饰烧大筝例子-矩阵组成的向量空间（0)Shanghai Normal Universit对于m,n≥1,令Mmxn(R）表示所有的m×n的实数矩阵的集合：·其中的加法就定义成矩阵的加法。·其中的数乘就定义成矩阵的数乘。可以验证，Mmxn(R）是一个向量空间。140

例子-矩阵组成的向量空间 (I) 对于 m, n ⩾ 1，令Mm×n(R)表示所有的 m × n 的实数矩阵的集合： • 其中的加法就定义成矩阵的加法。 • 其中的数乘就定义成矩阵的数乘。 可以验证，Mm×n(R)是一个向量空间。 140

上海饰烧大筝例子-矩阵组成的向量空间（II)Shanghai Normal Universit·矩阵的加法满足交换律和结合律。：其零元为全零矩阵0mxn，即所有的入口都是0。对于任意的MEMmxn(R)，其负元-M为：-M=(-1)M·数乘的单位元就是1ER.·数乘满足结合律和分配律。·数乘满足线性性质。141

例子-矩阵组成的向量空间 (II) • 矩阵的加法满足交换律和结合律。 • 其零元为全零矩阵 0m×n, 即所有的入口都是 0。 • 对于任意的 M ∈ Mm×n(R)，其负元 −M 为：−M = (−1)M. • 数乘的单位元就是 1 ∈ R. • 数乘满足结合律和分配律。 • 数乘满足线性性质。 141

上海师坛大学例子-只有一个向量的向量空间Shanghai Normal University有没有只有一个向量的向量空间呢？有。只有一个元素的向量空间Zo = (0)是一个向量空间。可以认为R是Z。的一个特殊情况。142

例子-只有一个向量的向量空间 有没有只有一个向量的向量空间呢？ • 有。 只有一个元素的向量空间 Z0 = {0} 是一个向量空间。可以认为 R 0 是 Z0 的一个特殊情况。 142

例子R2R3上海饰烧大学ShanghaiNormal University通过前面所叙述的向量加法和数乘，可以验证R是一个向量空间。x]所有组成的集合R2。yX所有组成的集合R3UZ问题47.能否将R"中推广到R中？143

例子 R 2 , R 3 , · · · 通过前面所叙述的向量加法和数乘，可以验证 R n 是一个向量空间。 • 所有 " x y # 组成的集合 R 2。 • 所有     x y z     组成的集合 R 3。 • · · · 问题 47. 能否将 R n 中推广到 R ∞ 中？ 143