《高等代数》课程教学课件（讲稿）chapter two matrices

ai1a12aina21a22a2nA=aml am2..amn称为一个m×n矩阵(matrix)，其中aii称为A的(i,i)-元素。若m=n则A称为n阶方阵。n=1的矩阵通常叫做（m阶）列向量。m=1的矩阵通常叫做（n阶）行向量。1

A =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · am1 am2 · · · amn   ¡‡ m × n Ý (matrix)§Ù¥ aij ¡ A  (i, j)-ƒ"em = n K A ¡ n  " n = 1 Ý Ï~‰£m ¤•þ" m = 1 Ý Ï~‰£n ¤1•þ" 1

两个特殊的矩阵：1）所有元素全是零的m×n矩阵，记作0mxn有时简记作02)0..01...In =00有时见简记作1.如果两个矩阵的行数、列数分别相等，并且对应的元素也相等，则称两个矩阵是相等的。2

ü‡AÏÝ µ 1¤¤kƒ´" m×n Ý §PŠ 0m×n, kž{PŠ 0. 2¤ In =   1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 · · · 0 0 · · · 1   , kž„{PŠ I. XJü‡Ý 1ê!ê©Oƒ§¿… éAƒƒ§K¡ü‡Ý ´ƒ" 2

运算：1）加法；2）数乘；3）乘法：Cmxp = AmxnBnxp.1aikbkjCij=(k=13

$Žµ 1¤\{¶ 2¤ê¦¶ 3¤¦{µ Cm×p = Am×nBn×p. cij = X n k=1 aikbkj. 3

课堂练习p.60: 1(3)(4),2(3)(4), 34

‘,öS p.60: 1(3)(4),2(3)(4), 3 4

运算法则：1）乘法结合律：(AB)C = A(BC),其中 A,B,C分别是m×n,n×p,p×矩阵。证明：AB的(i,k)元素是r=,airbrk.因此(AB)C的（i,）元素是nPZZairbrkh)ckj =arbruCkjk=1 r=1k=1 r=1BC 的（k,j）元素是=1bkrCrj.因此A(BC)的(i,)元素是Paik(bkrGri)=ZaibrCrj.k=-1 k=1 r=lr=2)加法分配律：A(B+C)=AB+AC.3) c(AB) = (cA)B = A(cB)4) ImA= A,AIn = A方阵的幂：Ak定义为k个A的乘积。5

$Ž{Kµ 1¤¦{(ÜƵ (AB)C = A(BC), Ù¥ A, B, C ©O´ m × n, n × p, p × q Ý " y²µAB  (i, k) ƒ´ Pn r=1 airbrk. Ïd(AB)C  (i, j) ƒ´ X p k=1 ( X n r=1 airbrk)ckj = X p k=1 X n r=1 airbrkckj. BC  (k, j) ƒ´ Pp r=1 bkrcrj. Ïd A(BC) (i, j) ƒ´ X n k=1 aik( X p r=1 bkrcrj) = X n k=1 X p r=1 aikbkrcrj.✷ 2) \{©Ƶ A(B + C) = AB + AC. 3) c(AB) = (cA)B = A(cB). 4) ImA = A, AIn = A.  µ Ak ½Â k ‡ A ¦È" 5

几个需要注意的地方：1）AB一般不等于BA2）两个非零矩阵的积可能等于零，例如：(88)(8) -(88)3)AB=AC不能推出B=C.6

A‡I‡5¿/µ 1¤AB „Øu BA. 2¤ü‡š"Ý ȌUu"§~Xµ  0 1 0 0   0 1 0 0  =  0 0 0 0  . 3) AB = AC ØUíÑ B = C. 6

矩阵A的转置记作A或AT性质：1) (A)= A.2) (A+B)= A'+B'3) (cA) = c(A).4) (AB)= B'A".证明：设A是m×p矩阵，B是p×n矩阵。AB的（i,i)元素是Z=iaikbkj·因此（AB)的(i,j)元素是h=ajkbki.B'的（i,i）元素是bji.A'的（i,j）元素是aji因此B'A'的（i,j）元素是=1bkiajk

Ý A =PŠ A0 ½ AT . 5Ÿµ 1) (A0 ) 0 = A. 2) (A + B) 0 = A0 + B0 . 3) (cA) 0 = c(A0 ). 4) (AB) 0 = B0A0 . y²µ A ´ m×p Ý §B ´ p×n Ý " AB  (i, j)ƒ´ Pp k=1 aikbkj. Ïd (AB) 0 (i, j)ƒ´ Pp k=1 ajkbki. B0  (i, j) ƒ´ bji. A0  (i, j) ƒ´ aji. Ïd B0A0  (i, j) ƒ´ Pp k=1 bkiajk. ✷ 7

定义1.若A'=A,则A称为对称矩阵。若A'=一A，则A称为反对称（或斜对称）矩阵。定义2.如果一个矩阵A=（aii）中的元素aij全是复（实、整）数，则A称为一个复（实、整）矩阵。记A=(ai)，称为A的共轭。8

½Â1. e A0 = A, K A ¡é¡Ý "e A0 = −A, K A ¡‡é¡£½é¡¤Ý " ½Â2. XJ‡Ý A = (aij) ¥ƒ aij ´E£¢!¤ê§KA ¡‡E£¢! ¤Ý "PA = (aij), ¡ A 
Ý" 8

例：(p.61:10）证明任一n阶方阵A可表示成一个对称阵和一个反对称阵的和。证明：令1B=(A+A)C(A-A22则B'= B.C"= =(A - A) =-CI(A'+A)22因此B是对称阵，而C是反对称阵。然而A=B+C.口9

~µ(p.61:10) y²? n  A ŒL«¤ ‡é¡ ڇ‡é¡ Ú" y²µ- B = 1 2 (A + A 0 ), C = 1 2 (A − A 0 ). K B 0 = 1 2 (A 0 + A) = B, C0 = 1 2 (A 0 − A) = −C. Ïd B ´é¡ § C ´‡é¡ " , A = B + C. ✷ 9

作业：p.61: 5,6,8,9,12,1510

Š’µ p.61: 5,6,8,9,12,15 10