上海师范大学：《线性代数》课程教学资源 Linear Algebra（讲稿，1/4）

上海师苑大学UShanghai NomatUniversity《线性代数》2024

《线性代数》 2024

目录I上海饰境大学Shanghai Normal Universit>线性代数课程介绍（IntroductiontoLinearAlgebra>什么是线性代数》向量（Vectors）矩阵>向量加法和数乘向量长度和点积>->解线性方程组（)(SolvingLinearEquations(1)）>线性方程组>解线性方程组的矩阵表示>矩阵（Matrices）>矩阵的运算>分块矩阵》逆矩阵>转置矩阵和置换矩阵2

目录 I Ġ 线性代数课程介绍 (Introduction to Linear Algebra) Ġ 什么是线性代数 Ġ 向量 (Vectors) Ġ 向量加法和数乘 Ġ 向量长度和点积 Ġ 矩阵 Ġ 解线性方程组 (I)(Solving Linear Equations(I)) Ġ 线性方程组 Ġ 解线性方程组的矩阵表示 Ġ 矩阵 (Matrices) Ġ 矩阵的运算 Ġ 分块矩阵 Ġ 逆矩阵 Ġ 转置矩阵和置换矩阵 2

目录Ⅱ上海饰境大学山Shanghai Normal Universit>向量空间（VectorSpace）>子空间》向量空间的基本概念>相关性、基和维度（Independence,BasisandDimension）》线性相关性向量空间的基和维度>矩阵的列秩与行秩（ColumnRankandRowRankofMatrices>通过Gauss-Jordan消元法来求A-1》列空间的秩与行空间的秩>解线性方程组（ll)(SolvingLinearEquations(ll)）>矩阵的秩>Ax=0的解>Ax=b的解3

目录 II Ġ 向量空间 (Vector Space) Ġ 向量空间的基本概念 Ġ 子空间 Ġ 相关性、基和维度 (Independence, Basis and Dimension) Ġ 线性相关性 Ġ 向量空间的基和维度 Ġ 矩阵的列秩与行秩 (Column Rank and Row Rank of Matrices) Ġ 列空间的秩与行空间的秩 Ġ 通过 Gauss−Jordan 消元法来求 A−1 Ġ 解线性方程组 (II)(Solving Linear Equations(II)) Ġ 矩阵的秩 Ġ Ax = 0 的解 Ġ Ax = b 的解 3

目录川上海饰境大学山Shanghai Normal Universit>正交和投影（OrthogonalityandProjection）》正交性>投影>投影到一条直线>投影到一个子空间>最小二乘，标准正交基（LeastSguareApproximations，OrthonormalBases）>最小二乘法>标准正交基和Gram-Schmidt正交化>行列式（Determinants）》什么是行列式》行列式的性质》行列式的计算行列式更多的性质》行列式的展开>行列式的正式定义>特征值与特征向量（EigenvaluesandEigenvectors）》特征值介绍>对角化矩阵4

目录 III Ġ 正交和投影 (Orthogonality and Projection) Ġ 正交性 Ġ 投影 Ġ 投影到一条直线 Ġ 投影到一个子空间 Ġ 最小二乘，标准正交基 (Least Square Approximations, Orthonormal Bases) Ġ 最小二乘法 Ġ 标准正交基和 Gram-Schmidt 正交化 Ġ 行列式 (Determinants) Ġ 什么是行列式 Ġ 行列式的性质 Ġ 行列式的计算 Ġ 行列式更多的性质 Ġ 行列式的正式定义 Ġ 行列式的展开 Ġ 特征值与特征向量 (Eigenvalues and Eigenvectors) Ġ 特征值介绍 Ġ 对角化矩阵 4

目录IV上海师苑大学Shanghai Normal Universit>对称矩阵和正定矩阵（SymmetricMatricesandPositiveDefiniteMatrices）对称矩阵》正定矩阵》特征空间、代数重数以及几何重数>线性变换（LinearTransformation）>线性变换的概念>线性变换的矩阵形式>线性变换的像和核>对偶性（Duality）>奇异值分解（SingularValueDecomposition）>SVD基础>用线来拟合数据>用k维子空间拟合数据>再看Ax=b的近似解5

目录 IV Ġ 对称矩阵和正定矩阵 (Symmetric Matrices and Positive Definite Matrices) Ġ 对称矩阵 Ġ 正定矩阵 Ġ 特征空间、代数重数以及几何重数 Ġ 线性变换 (Linear Transformation) Ġ 线性变换的概念 Ġ 线性变换的矩阵形式 Ġ 线性变换的像和核 Ġ 对偶性 (Duality) Ġ 奇异值分解 (Singular Value Decomposition) Ġ SVD 基础 Ġ 用线来拟合数据 Ġ 用 k 维子空间拟合数据 Ġ 再看 Ax = b 的近似解 5

线性代数课程介绍（IntroductiontoLinearAlgebra）

线性代数课程介绍 (Introduction to Linear Algebra)

线性代数课程介绍（IntroductiontoLinearAlgebra）什么是线性代数

线性代数课程介绍 (Introduction to Linear Algebra) 什么是线性代数

上海师坛大学课程目标Shanghai Normal University高中数学到大学数学的飞跃1.从强调计算（算术）到理解数学结构的转变。2.从牢记结论到掌握证明的转变。3.建立抽象的几何直观。8

课程目标 高中数学到大学数学的飞跃 1. 从强调计算（算术）到理解数学结构的转变。 2. 从牢记结论到掌握证明的转变。 3. 建立抽象的几何直观。 8

上海师坛大学什么是线性代数？Shanghai Normal University线性代数研究：1.向量空间（vectorspace）。2.向量空间之间的线性变换（lineartransformationsorlinearmap）9

什么是线性代数？ 线性代数研究： 1. 向量空间（vector space）。 2. 向量空间之间的线性变换（linear transformations or linear map） 9

一个线性函数上海饰境大学ShanghaiNormal Universit考虑如下的函数：f(x) := 3x这是一个R→R的线性函数。：从几何的角度来讲，这是平面R2上的一条线。：从代数的角度来讲，对于任意的x1,x2.c.xER我们有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)f(cx) = cf(x)10

一个线性函数 考虑如下的函数： f(x) := 3x 这是一个 R → R 的线性函数。 • 从几何的角度来讲，这是平面 R 2 上的一条线。 • 从代数的角度来讲，对于任意的 x1, x2, c, x ∈ R 我们有： f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) f(cx) = cf(x) 10