《普通物理》课程教学资源（PPT课件）4-2 力矩 转动定律 转动惯量

4-2力矩转动定律转动惯量问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动有影响吗？ZF=0,ZM, =0圆盘静止不动ZF =0,ZM,+0圆盘绕圆心转动力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响

问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作 用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作 用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力 的作用点的位置对物体的运动有影响吗？ Fi = 0 , Mi = 0   圆盘静止不动  = 0 ,   0 Fi Mi   圆盘绕圆心转动 F  F  − F  F  − 力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响

力矩一刚体绕Oz轴旋转，力F作用在刚体上点P，且在转动平面内，为点O到力的作用点P的失径MF对转轴Z的力矩M=rxFZMrM=Frsine=FdHdd:力臂

P z * O M = Frsin = Fd M  F  r   d d : 力臂 刚体绕 O z 轴旋转, 力 作用在刚体上点P ,且在 转动平面内, 为由点O 到力的作用点P 的矢径 . F  r  M r F    =  F 对转轴 Z 的力矩  一 力矩 M 

讨论1若力F不在转动平面内，可把力分解为平行于和垂直于转轴方向的两个分量F=F,+FZ品F其中F对转轴的力矩为零kF故力对转轴的力矩10M,k=rxFrMz =rFi sin 0（2）合力矩等于各分力矩的矢量和M=M,+M, +M, +

z O k  F  r  讨论 F = F z + F⊥    = F⊥ M k r    z Mz = rF⊥ sin  Fz  F⊥  (1) 若力 不在转动平面内，可把力分解为平行于 和垂直于转轴方向的两个分量 F  (2) 合力矩等于各分力矩的矢量和      M = M1 + M2 + M3 +  其中 对转轴的力矩为零， 故力对转轴的力矩 Fz 

刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消3M.=-Mji27Mi10E.L2结论：刚体内各质点间的M=EM,=0作用力对转轴的合内力矩为零

(3) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 Mij M ji   = − j r  i r  i j Fij  Fji  d O Mij  M ji  结论：刚体内各质点间的 作用力对转轴的合内力矩为零. = = 0 M Mij  

转动定律二ZFt = (m,)a, = △mrαM,=rFit=(Am,)atrAm;F:at=rα.. M, =(Am,)r’αM= Z M, = E(Am; )r2α = αZ(Am,)rJ=EAm,r转动惯量转动定律M =Jα

z 二 转动定律 Fit = (mi )at = mri   2 ( ) i i i M = m r i i i i i M r F m a r t t = = ( ) mi i r O  Fit  at = r 2 2 ( ) ( ) i i i i i M = M =  m r  = m r 转动定律 M = J 2 i i ➢ 转动惯量 J =m r

J=EAmr转动定律M =Jα刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比转动慢量物理意义转动慢性的量度质量连续分布刚体的转动惯量J=质量元：dmEAm,r?=[r?dmN注意送意转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何形状及转轴的位置

➢ 转动惯量物理意义：转动惯性的量度. ➢ 质量连续分布刚体的转动惯量 J m ri r m i i d 2 2   =  = 质量元: dm 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正 比 ，与刚体的转动惯量成反比 . 转动定律 M = J 2 i i J =m r 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何 形状及转轴的位置. 注意

讨论：一质量为m、长为1的均匀细长棒，与棒垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化。设棒的线密度为2，取一距离转轴00为r处的质量元dJ = r?dm = Ar?drdm = Adr1·1122drJ=2元转轴过中心垂直于棒ml121m/2J=a2 dr =转轴过端点垂直于棒一3

l O´ O dr r 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 r 处的质 量元  dm = dr dJ r dm r dr 2 2 = =  讨论： 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，与棒 垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 . dr −l 2 l 2 O´ O 2 0 2 3 1 J r dr ml l = =  转轴过端点垂直于棒  2 / 2 0 2 12 1 J 2 r dr ml l = =  转轴过中心垂直于棒 

C飞轮的质量为什么大都分布子外轮家

竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？

例1如图所示有一半径为R质量为的匀质圆盘可绕通过盘心0垂直盘面的水平轴转动.转轴与圆盘之间的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索，绳的一端固定在圆盘上另一端系质量为m的物体.试求物体下落时的口速度绳中自长力和圆盘的角加速度解：(1)分析受力mm（2）选取坐标系R1mR0注意：转动和平TP动的坐标取向要一致m福

解: (1) 分析受力 R O m m  y O R T'  m  P  FT  m (2)选取坐标系 注意：转动和平 动的坐标取向要一致. 例1 如图所示,有一半径为 R 质量为 的匀质圆盘, 可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动.转轴与圆盘之间 的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一端固定 在圆盘上,另一端系质量为 m 的物体.试求物体下落时的 加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度. m 

（3）列方程（用文字式）mg-F=ma牛顿第二定律（质点）转动定律（刚体）F'R=Jα约束条件a,= RαFf= FJ=m'R2 /2转动惯量先文字计算求解00Lm后代入数据求值mRAa, = 2mg/(2m+m)mR0F =m'mg /(2m+m)TPmα = 2mg/[(2m+m)R)

a 2mg (2m m') y = + ' /(2 ') FT = m mg m+m  = 2mg [(2m+m')R] （3）列方程（用文字式） 牛顿第二定律（质点） mg − FT = may 转动定律（刚体） FT R = J ' / 2 2 转动惯量 J = m R 先文字计算求解， 后代入数据求值. 约束条件 ay = R FT FT =  R O m m  y O R T'  m  P  FT  m