西安石油大学理学院：《高等数学 Advanced Mathematics》课程教学资源（标准化作业及答案，下册）22 高斯公式 通量与散度

高等数学作业22 系别 班级 姓名学号 第六节高斯公式通量与散度 一、填空题: 1.设光滑闭曲面∑所围成的空间闭区域为a,则曲面积分中y3ddx+x3dydz+ z3drdy化为重积分是 2.设Σ是球面x2+y2+x2=2x,osa,s3,csy是∑上点的外法线向量的方向余 弦,则(xosa+yosB+zosy)ds= 二、利用高斯公式计算 1.4x2dydk+(x2y-x3)dx+(2xy+y2)ddy,其中Σ为上半球体 a2,0≤z≤√a2-x2-y2的表面外侧 2.4xdyd-y2dx+yddy,其中∑是平面x=0,y=0,x=0,x=1,y= 1,x=1所围成立方体全表面的外侧;

xy2dydz+ y'dzdx+2x2dmy,其中∑是柱面x2+y2=1介于z=0及 z=2之间的部分,取外侧; 4.|x2 dydz+dady,其中S为曲面z=x2+y2上x≤2部分的下侧 、求下列向量场A穿过曲面Σ流向指定侧的通量 1.A={yx,xz,xy|,E为圆柱x2+y2≤a2(0≤x≤h)的全表面流向外侧;

2.A=(2x+3z)i-(xz+y)j+(y2+2z)k,E是以点(3,-1,2)为球心,半径R 3的球面,流向外侧; 四、求向量场A={e”,oos(xy),o(xz2)}的散度 五、设u(x,y,z)、v(x,y,z)是定义在闭区域a上的具有二阶连续偏导数的函数, 2n、2依次表示u(x,y,2)(x,y)沿∑的外法线方向的方向导数求证: u△v-v△n)dayz=aa-v2n,)dS, 其中∑是空间闭区域Q的整个边界曲面 87

六、已知函数u(x,y,z)沿封闭曲面S外法线的方向导数是常数C,为S所围的空 间区域,A是S的面积试证:‖dv( gradu)do=CA 七计算2xayk+ yday-2ddy,其中∑是由曲面z=√x2+y2与 √2-x2-y2所围立体表面外侧 八计【x+a3)M+(y+ax)+(+,其中3为上半球面 √a2-x2-y2的上侧 88