《微分几何》课程教学课件（PPT讲稿）曲面论——曲面的第二基本形式（曲面的第二基本形式）

2.3曲面的第二基本形式 1.曲面的第二基本形式 2.曲面上曲线的曲率 3.迪潘(Dupin)指标线 4.曲面的渐进方向和共轭方向 5.曲面的主方向和曲率线 6.曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率 7.曲面在一点邻近的结构 8.高斯曲率的几何意义

2.3 曲面的第二基本形式 1. 曲面的第二基本形式 2. 曲面上曲线的曲率 3. 迪潘(Dupin)指标线 4. 曲面的渐进方向和共轭方向 5. 曲面的主方向和曲率线 6. 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率 7. 曲面在一点邻近的结构 8. 高斯曲率的几何意义

2.3.1曲面的第二基本形式 1.引入 上节中我们讨论到的性质，如交角、弧长、面积等，都 是曲面本身的内蕴性质，它不依赖于曲面在空间如何弯曲. 为了更好地研究曲面的弯曲性，以及知曲面上任意一点P 邻近曲面是否弯曲，往什么方向弯曲，弯曲的程度如何？ 而这个弯曲程度可用P点 邻近的点P'到P点的切平面 的垂直距离来表示，这个距离 n 的主要部分就是du和dv的一 个二次形式，即曲面的第二基 P 本形式.在第五节我们将看到 曲面的第一、二基本形式完全 决定的曲面的形状

2.3.1 曲面的第二基本形式 1.引入 而这个弯曲程度可用 P 点 邻近的点 P´ 到P 点的切平面 的垂直距离来表示，这个距离 的主要部分就是du 和dv 的一 个二次形式,即曲面的第二基 本形式.在第五节我们将看到 曲面的第一、二基本形式完全 决定的曲面的形状. S  P n ' P Q 上节中我们讨论到的性质，如交角、弧长、面积等，都 是曲面本身的内蕴性质，它不依赖于曲面在空间如何弯曲. 为了更好地研究曲面的弯曲性，以及知曲面上任意一点 P 邻近曲面是否弯曲，往什么方向弯曲，弯曲的程度如何？

二、曲面的第二基本形式 n 设曲线(C): u=u(s),v=v(s) 6n？ 或产=[u(s),vs] F(S+△s) δ=Qp.n=(Qp+Pp)n =Pp'.n注意到：QP⊥n Pp=F(s+△s)-F(s)=As+.(+E(△s)2,limE=0. 6=+方+Xrn-a+iEXA时注意到：广1n 因此当下·≠0时，无穷小距离δ的主要部分是 5a-wras

S  P n ' P Q  n O r s( ) r s s ( ) +  = ? u u s v v s = = ( ), ( ) 设曲线(C): 或 r r u s v s = [ ( ), ( )]  =  = +  QP n QP PP n   ( ) 1 2 ( ) ( ) ( )( ) , 2 PP r s s r s r s r s  = +  − =  + +   0 lim 0. s   → = =  PP n  注意到：QP n ⊥ 1 2 ( )( ) 2   r r s n   = + +       注意到：r n ⊥ 1 2 ( )( ) 2 =  +   n r n s  因此当 r n  0 时，无穷小距离 的主要部分是 1 2 ( ) 2 n r s   1 2 2 =  n rds 二、曲面的第二基本形式

当万产≠0时，心的主要部分是万4y=n 由于示=u+ 求=万m+27m+n2+fi+的 所以 nids2=nrdu2+2n Tndudy+ndv2 引入符号 L=n.tiwe M=n.Tio N=n.f 称 II=n.rds2=n.d'r=Ldu2+2Mdudy +Ndv 为曲面的第二基本形式，L、M、W系数称为曲面的第二类基 本量

当 n  r   0 时， 的主要部分是    2 2 2 1 ( ) 2 1 n r s n rds         =  由于 r r u r v u v       = + r r u r uv r v r u r v uu uv vv u v             = + + + + 2 2 2 所以 2 2 2 n rds n r du 2n r dudv n r dv u u u v vv           =  +  +  2 2 2 2 = nrds = nd r = Ldu + 2Mdudv + Ndv      Ⅱ 为曲面的第二基本形式, L 、M、N系数称为曲面的第二类基 本量 . , , L n r M n r N n r =  =  =  uu uv vv 称 引入符号

当i护≠0时，6的主要部分是，i.(A)2=n II=n-rds2=n.d'r=Ldu2+2Mdudy +Ndv? L=n.Tim M=n.Tio,N=n 注1：上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向 距离的两倍，因而它刻划了曲面离开切平面的弯曲程度，即 刻划了曲面在空间中的弯曲性 IⅡ=Ldu2+2 Adudy+Ndw2 注2：第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向法向 量的正侧弯曲时为正，反向弯曲为负

当 n  r   0 时， 的主要部分是    2 2 2 1 ( ) 2 1 n r s n rds         =  2 2 2 2 = nrds = nd r = Ldu + 2Mdudv + Ndv      Ⅱ 注1：上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向 距离的两倍，因而它刻划了曲面离开切平面的弯曲程度，即 刻划了曲面在空间中的弯曲性. 注2：第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向法向 量的正侧弯曲时为正，反向弯曲为负. ( ) 2 2 2 , Ldu Mdudv Ndv L M du du dv M N dv  = + +    =       , , L n r M n r N n r =  =  =  uu uv vv

三、第二类基本量的计算 1.L=m方=m ×元 (Gu,) ×√EG-F2 M=元ni=2,) VEG- 。N=n万=，2，) NEG-F2 2.对n·df=0进行微分得 didi+ndr=0，∴.ndr=-didf=IⅢ 又方，元在切平面上，所以·n=0,元·n=0,微分有 im·n+f·in=0 L=方mi=-fn·n fo·n+·i,=0 M=imn=-i·n,=-i·nn 元m·i+正·in=0 m·n+元，i,=0 N=imw·n=-f·n

三、第二类基本量的计算 2 ( , , ) EG F r r r r r r r L r n r uu u v u v u v uu uu − =   =  =            , ( , , ) 2 EG F r r r M r n uv u v uv − =  =      2 ( , , ) EG F r r r N r n vv u v vv − =  =      1. 2. 对 ndr = 0 进行微分得   dndr + nd r =  nd r = −dndr =    2   2    0 , Ⅱ 又ru ,rv在切平面上,所以 ru n = 0,rv n = 0,微分有       uu u nu L r n r     =  = −  uv u v v nu M r n r n r       =  = −  = −  vv v nv N r n r     =  = −  ruu n + ru nu = 0     ruv n + ru nv = 0     rvv n + rv nv = 0     0 vu v u r n r n  +  =

3.对于显函数z=z(x,y)表示的曲面有下={x,y,(x,y)} 万={1,0,2x}={1,0p}，下={0,1,2y}={0,1,9} x={0,0,2x}={0,0,r}, ={0,0,2}={0,0,3x}=7x={0,0,s} y={0,0,2w}={00, E=F=1+p2,F=f方=pg,G=万万=1+q I=(（1+p2)d2+2pqc+(1+g2)d2 下× n= √EG-F2 。0.PNG-F2=P EG-F2 IⅡ= v1+p2+q2 (rdx2+2sdxdy+tdy?)

3. 对于显函数 z = z (x , y) 表示的曲面有 r ={x, y,z(x, y)}  {0,0, } {0,0, } {0,0, } {0,0, } {0,0, } {0,0, } {0,0, } , {1,0, } {1,0, } , {0,1, } {0,1, } r z t r z z r s r z r r z p r z q yy yy xy xy yx yx xx xx x x y y = = = = = = = = = = = =       2 2 2 2  = (1+ p )dx + 2pqdxdy+ (1+ q )dy ( 2 ) 1 1 2 2 2 2 rdx sdxdy tdy p q + + + + Ⅱ = 2 2 1 , , 1 E r r p F r r pq G r r q =  = + =  = =  = + x x x y y y 1 2 3 2 2 2 { , ,1} 1 0 0 1 x y e e e r r p q n p EG F EG F EG F q  − − = = − = − −

例1求球面的第二基本形式 =(Rcos0coso,Rcossino,Rsine 解计算可得 月=←Rcos0sinp,Rcos8cos0,0y ={-Rsinecoso,-Rsinsinp,Rcose) 由此得到曲面的第一类基本量 E=n=R2cos20,F=。g=0,G=fg月=R2. E e2 es 。×6 EG-F2 -Rcosθsino Rcosθcosp 0 -Rsincoso-Rsinsinp Rcos0 ={cosθcosp,cosθsinp,sinθ}

解 计算可得 例1 求球面的第二基本形式 r R R R ={ cos cos , cos sin , sin }.      r R R { cos sin , cos cos ,0}  = −     r R R R { sin cos , sin sin , cos }  = − −      由此得到曲面的第一类基本量 2 2 E r r R cos , =  =    F r r 0, =  =   2 G r r R . =  =   ={cos cos ,cos sin ,sin }.      1 2 3 2 2 1 cos sin cos cos 0 cos sin cos sin sin cos e e e r r n R R EG F R R R R              = = − − − −

。={-Rcosθsinp,Rcosθcosp,0} o=-Rsinecoso,-Rsinsino,Rcos) n={cose coso,cossino,sine;. 又由于 ={-Rcoscosp,-Rcosesin,0; Too={Rsinesinp,-Rsinecosp,O) Too={-Rcos0coso,-Rcossinp,-Rsine; L=Tion=-RCOS20,M=Tooi=0,G=Tooi=-R, 因而 II=-(Rcos2Odo2+Rde2)

r R R { cos sin , cos cos ,0}  = −     r R R R { sin cos , sin sin , cos }  = − −      又由于 2 L r n Rcos , =  = −   M r n 0, =  =  G r n R, =  = −  因而 2 2 2 II R d Rd = − + ( cos ).    n ={cos cos ,cos sin ,sin }.      r R R { cos cos , cos sin ,0}  = − −     r R R { sin sin , sin cos ,0}  = −     r R R R { cos cos , cos sin , sin }  = − − −     

例2求抛物面z=a(x2+y)的第一基本形式和第二基本形式 解：F={x,y,a(x2+y2)}计算可得 ={1,0,2ax,={0,1,2ay} .={0,0,2a,F={0,0,0,万2={0,0,2a. E==1+4a'x2,F==4a'xy,G==1+4a'y I=(1+4a'x2)dx2+8a2xydxdy +(1+4a2y2)dy2 F×厅 le ee n= =1 0 2ax EG-F=(-2ax.-2ay.! √EG-F2 012ay V1+4a2x2+4a2y 2a L=in= Vl+4a+4a万2M=,万=0，N=元nn= 2a 1+4a2x2+4a2y +4a+4(+小 2a Ⅱ=

解: 例2 求抛物面 的第一基本形式和第二基本形式. 2 2 z a x y = + ( ) {1,0,2 }, {0,1,2 } {0,0,2 }, {0,0,0}, {0,0,2 }. x y xx xy yy r ax r ay r a r r a = = = = = 2 2 2 2 2 2 2  = + + + + (1 4 ) 8 (1 4 ) a x dx a xydxdy a y dy 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 4 4 a dx dy a x a y = + + + Ⅱ 2 2 2 2 2 1 4 , 4 , 1 4 E r r a x F r r a xy G r r a y =  = + =  = =  = + x x x y y y 1 2 3 2 2 2 2 2 2 { 2 , 2 ,1} 1 0 2 1 4 4 0 1 2 x y e e e r r ax ay n ax EG F EG F a x a y ay  − − = = − = − + + 计算可得 2 2 r x y a x y = + { , , ( )} 2 2 2 2 2 , 1 4 4 xx a L r n a x a y =  = + + 0, M r n =  = xy 2 2 2 2 2 , 1 4 4 yy a N r n a x a y =  = + +