《微分几何》课程教学课件（讲稿）第2章 空间曲面 2.2 曲面的第一基本形式 2.2 曲面的第一基本形式

2.2 曲面的第一基本形式 2.2.1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长 2.2.2曲面上两方向的交角 2.2.3正交曲线簇和正交轨线 2.2.4曲面域的面积 2.2.5等距变换 2.2.6保角变换（保形变换）

2.2 曲面的第一基本形式 2.2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 2.2.2 曲面上两方向的交角 2.2.3 正交曲线簇和正交轨线 2.2.4 曲面域的面积 2.2.5 等距变换 2.2.6 保角变换（保形变换）

2.2.1曲面的第一基本形式曲面上曲线的弧长 1.曲面上曲线的弧长 给出曲面S:r=r(u,),曲面曲线(C):u=u(),v=v(), 或 r=r[u(t),v(t)]=r(t), r(t)=r dt du+r.或dr=rudu+r,adv 若了表示弧长，有 ds2=dr2=(,du+rd)2=i·fdu2+2f·r,dudv-+frdw2 设曲线(C)上两点A(),B(),则弧长为 -会-()+2r张音+d di dt 其中E=万，F=·万，G=下·称为曲面的第一类基本量

2.2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 1. 曲面上曲线的弧长 或 dt dv r dt du r t r = u + v ( ) dr r du r dv = u + v 或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)， 2 2 2 2 2 ( ) 2 u v u u u v v v ds dr r du r dv r r du r r dudv r r dv = = + =  +  +  若 s 表示弧长，有 设曲线 (C)上两点 A (t0) , B (t1) ，则弧长为 dt dt dv G dt dv dt du F dt du dt E dt ds s t t t t         + +      = = 1 0 1 0 2 2 2 , , 其中E r r F r r G r r =  =  =  u u u v v v 称为曲面的第一类基本量. 给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (C)：u = u (t) , v = v (t)

2.曲面的第一基本形式 称关于du,dv的二次形式 I=(ds)"=Edu2+2Fdudy+Gdy2 为曲面的第一基本形式，其中第一类基本量 E=TF=G= 3.用显函数z=z(心，y)表示的曲面的第一基本形式 下={x,y,z(x,y)} 月=1,0，p以，元=0,1q,p=x9= E=f=1+p2,F=元万=p9,G=f万=1+q2 I=(1+p2)dx2+2pqdxdy+(1+q2)dy

2.曲面的第一基本形式 3.用显函数 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式 { , , ( , )} {1,0, }, {0,1, }, , . x y r x y z x y z z r p r q p q x y =   = = = =   2 2 1 , , 1 E r r p F r r pq G r r q =  = + =  = =  = + x x x y y y 2 2 2 2  = + + + + (1 ) 2 (1 ) p dx pqdxdy q dy 为曲面的第一基本形式， 称关于du,dv的二次形式 , , . E r r F r r G r r =  =  =  u u u v v v ( ) 2 2 2  = = + + ds Edu Fdudv Gdv 2 其中第一类基本量

4.第一基本形式正定性 I=(ds)=Edu2+2Fdudy+Gdy2=(du dv) E F du F Gd 事实上E==2>0,G=rK=2>0, 且由 (亿×r)2=×rP15Psin2,r) ar-wcshnrp- =22-(0r)2>0. 因此 EG-F2=2r-(r)2>0. 由 E=2>0,G=2>0,EG-F2>0 得I=Edh+2 Fdudy+Gd2正定 实际上也可从I=ds2直接得到！

4. 第一基本形式正定性 事实上 实际上也可从 直接得到. 2  = ds 2 2 0, 0, E r r r G r r r =  =  =  =  u u u v v v 2 2 2 2 ( ) 0. EG F r r r r − = −   u v u v 2 2 ( ) | | u v u v r r r r  =  2 2 2 | | | | sin ( , ) u v u v = r r r r 2 2 2 | | | | 1 cos ( , ) u v u v = − r r r r     2 2 2 | | | | 1 | || | u v u v u v r r r r r r      = −         2 2 2   ( ) 0. u v u v = −   r r r r 且由 因此 由 2 2 2 0, 0, 0 E r G r EG F =  =  −  u v 2 2 得  = + + Edu Fdudv Gdv 2 正定. ( ) 2 2 2  = = + + ds Edu Fdudv Gdv 2 ( ) E F du du dv F G dv     =        

例1求球面的第一基本形式 ={Rcoscoso,Rcososino,Rsine. 解计算可得 ={-Rcosesinp,Rcosecosp,O) o={-Rsincoso,-Rsinesino,Rcose) 由此得到曲面的第一类基本量 E=。fo=R2cos20, F=。1%=0, G=%=R2 因而 I=R2 cos2Odo2+R2de2

解 计算可得 例1 求球面的第一基本形式 r R R R ={ cos cos , cos sin , sin }.      r R R { cos sin , cos cos ,0}  = −     r R R R { sin cos , sin sin , cos }  = − −      由此得到曲面的第一类基本量 2 2 E r r R cos , =  =    F r r 0, =  =   2 G r r R . =  =   因而 2 2 2 2 2 I R d R d = + cos .    x y z  

例2正螺面 解取螺旋轴为z轴，以V表示 (x,y,) 0 直线与x轴的交角，以u表示 直线上的点M到z轴的距离，则有 x=ucosv,y=usinv,z=av 分别关于u和v求导得 x=cosv,yi =sin v,=0, x,=-usinv,y=ucosv,Z,a. 因此 E=1,F=0,G=2+a2, I=ds2=d2+(2+a2)dh2

例2 正螺面 x u v y u v z av = = = cos , sin , x y z O x y z v u •( , , ) x y z x y z 解 取螺旋轴为z轴，以v表示 O 直线与x轴的交角，以u表示 直线上的点M到z轴的距离，则有 2 2 2 2 2  = = + + ds du u a dv ( ) 分别关于u和v求导得 cos , sin , 0, u u u x v y v z = = = sin , cos , . v v v x u v y u v z a = − = = 因此 2 2 E F G u a = = = + 1, 0,

2.2.2曲面上两方向的交角 L.把两个向量dr=r,du+r,dv和=ru+r,间的交角 称为方向(du:d)和(：)间的交角 2.设两方向的交角为0，则由 dhr.or=ldhrδircos@ 得 dr.6r cos0= arllδr dr=r du+r,dv,or=r ou+r.ov _(Cdu+rcw):(6u+rδv)） Vdr2 v8r2 Eduδu+F(duov+δudv)+Gdvv Edu2+2Fdudy Gdy?ESu2+2FSuSy +GSv2

2.2.2 曲面上两方向的交角 1. 把两个向 量 和 间的交角 称为方向（ ）和（ ）间的交角. dr r du r dv = u + v r r u r v  = u  + v  du : dv u :v 2. 设两方向的交角为  ，则由 cos dr r dr r     = 2 2 ( ) ( ) u v u v r du r dv r u r v dr r    +  + = 2 2 2 2 ( ) 2 2 Edu u F du v udv Gdv v Edu Fdudv Gdv E u F u v G v         + + + = + + + + , u v u v dr r du r dv r r u r v = + = +    dr r dr r    = cos 得

dr.δr EduSu+F(duv +Sudy)+Gdvov cos0= ldr or Edu+2Fdudy+Gdv2ESu2+2FSuy +GSv? 3.特别 (1)》 (d)⊥（δ）→EduSu-+F(du6v+mudh)+Gdvv=O (2)对于坐标曲线的交角，有 dr=rdu,or=r.Ov cos0= dr.ornr F ldroVEG 故坐标曲线正交的充要条件为F=0

3. 特别 cos dr r dr r     = 2 2 2 2 ( ) 2 2 Edu u F du v udv Gdv v Edu Fdudv Gdv E u F u v G v         + + + = + + + + （2）对于坐标曲线的交角，有 （1） ( ) ( ) d ⊥  Edu u F du v udv Gdv v     + + + = ( ) 0 EG F r r r r dr r dr r u v u v =  =  =   cos 故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 . , u v dr r du r r v = =  

例3证明旋转面卞={p(t)cosO,o(t)sin0,yw(t)}的坐标网是 正交的. 证 =o(t)cose,o(t)sine,w(t); o ={-o(t)sine,o(t)cose,0), =o'(t)cose,o(t)sine,w'(t)) 由此得到 F=%i=0 即坐标网为正交的， 同理可证圆柱面、球面、正螺面的坐标网都为正交的

例3 证明旋转面 的坐标网是 正交的. 证 0 F r r =  =  t 由此得到 r t t t ={ ( )cos , ( )sin , ( )}      r t t t ={ ( )cos , ( )sin , ( )}      r t t { ( )sin , ( )cos ,0},  = −    { '( )cos , '( )sin , '( )} t r t t t =      即坐标网为正交的. 同理可证圆柱面、球面、正螺面的坐标网都为正交的

习题4：设曲面的第一基本形式为ds2=du2+(u2+a2)d2, 求它上面两条曲线u+v=O,u-v=0的交角（注意，解此题时 不需要知道曲面和曲线的具体形状)】 解：曲面的第一类基本量为 E=1,F=0,G=u2+a2 曲线u+v=0,u-v=0的交点为(0,0).在交点处的第一类基本量为 E=1,F=0,G=a2 曲线u+v=0的方向为d+w=0,曲线u-v=0的方向为u-v=0 设两曲线的夹角为日，则有 COs0=. EduSu+F(duy+dvSu)+Gdvov E+G dvoy duu Edu+2Fdudy +GdyESu+2FSuy +Gov? G) 1-(2+a2) s1-a2 V1+(r2+a2)N1+(w2+a2 1+a2 (u,y)=(0,0)

求它上面两条曲线 的交角(注意，解此题时 不需要知道曲面和曲线的具体形状). u v u v + = − = 0, 0 习题4：设曲面的第一基本形式为 2 2 2 2 2 ds du u a dv = + + ( ) , 解：曲面的第一类基本量为 曲线 u v u v + = − = 0, 0 的交点为(0,0).在交点处的第一类基本量为 2 2 E F G u a = = = + 1, 0, 2 E F G a = = = 1, 0, 曲线 u v + = 0 的方向为 du dv + = 0, 曲线 u v − = 0 的方向为   u v − = 0 设两曲线的夹角为  ，则有 2 2 2 2 ( ) cos 2 2 Edu u F du v dv u Gdv v Edu Fdudv Gdv E u F u v G v          + + + = + + + + 2 2 dv v E G du u dv v E G E G du u     + =     + +         2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) u v u a u a u a = − + = + + + + 2 2 1 . 1 a a − = +