《微分几何》课程教学课件（讲稿）第2章 空间曲面 2.3 曲面的第二基本形式 2.3.4 曲面的渐进方向和共轭方向

2.3曲面的第二基本形式 2.3.4曲面的渐进方向和共轭方向 一、曲面的渐近方向与渐近线 二、共轭方向

2.3.4 曲面的渐进方向和共轭方向 2.3 曲面的第二基本形式 一、曲面的渐近方向与渐近线 二、共轭方向

一、曲面的渐近方向与渐近线 1.定义如果P是曲面的双曲点，则它的迪潘指标线有一对渐近 线，我们把渐近线的方向()称为曲面在P点的渐近方向. Lx2+2My+Wy2=±1 y 2Lx+2My+2Mxy+2Nyy'=0 du:dv L+MY++N上y'=0 lim-0 dy dy r→ox-0dxdu Ldu2+2Mdudy Ndy2=0 设L,M,N在P点的值为Lo,M,No,则由解析几何知，这 两个渐进方向满足方程 Lodu2+2Modudy +N dv2=0

一、曲面的渐近方向与渐近线 设L，M，N在P点的值为L0，M0，N0，则由解析几何知，这 两个渐进方向满足方程 2 0 2 0 0 2 L0du + M dudv + N dv = 1. 定义 如果P是曲面的双曲点，则它的迪潘指标线有一对渐近 线，我们把渐近线的方向(d)称为曲面在P点的渐近方向. 0 lim = x 0 y dy dv → x dx du − = − 2 2 Lx Mxy Ny + + =  2 1 2 2 +2 ' 2 ' 0 Lx My Mxy Nyy + + = + ' ' 0 y y L M My N y x x + + = 2 2 Ldu Mdudv Ndv + + = 2 0 P x y du dv :

两个渐进方向满足方程 Lodu2+2Modudy +Nody2=0 由法曲率公式 II 渐进方向的等价定义：P点处法曲率k,=O为零的方向为P点的 渐进方向. 2.渐近曲线 曲面上的曲线，如果它上面的每点的切方向都是渐近方 向，则称曲线为渐近曲线，它的微分方程是 Ldu+2Mdudy Ndv?=0

两个渐进方向满足方程 2 0 2 0 0 2 L0du + M dudv + N dv = 由法曲率公式 n II k I = 2. 渐近曲线 2 2 Ldu Mdudv Ndv + + = 2 0. 曲面上的曲线，如果它上面的每点的切方向都是渐近方 向，则称曲线为渐近曲线，它的微分方程是 渐进方向的等价定义：P点处法曲率 为零的方向为P点的 渐进方向. 0 n k =

3.性质 命题1：如果曲面上有直线，则其一定为曲面的渐进曲线 证明：因为直线的曲率k=0，所以沿直线方向的法曲率 k =k cose=0. 即 Ldu2+2Mdudy +Ndv?=0, 因而直线是曲面的渐近曲线

3.性质 命题1：如果曲面上有直线，则其一定为曲面的渐进曲线. 证明：因为直线的曲率 ，所以沿直线方向的法曲率 cos 0, n k k = =  k = 0 即 2 2 Ldu Mdudv Ndv + + = 2 0, 因而直线是曲面的渐近曲线

命题2：曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的 密切平面 证明：沿渐近曲线有k,=kcos0=0→k=0或cos0=0 若k=0,则为直线，这时曲面的切平面通过它，因而曲线 的切平面又是曲线的密切平面 若k+0,os0-0→0)-号 n 则曲面的法向量垂直于渐近曲线 的主法向量，因此曲面的切平面 通过渐近曲线的切线外，还通过 渐近曲线的主法向量，所以它又 是渐近曲线的密切平面

若 k = 0，则为直线，这时曲面的切平面通过它，因而曲线 的切平面又是曲线的密切平面. 命题2：曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的 密切平面. k = k cos = 0  k = 0 或 cos = 0 证明：沿渐近曲线有 n 若 k  = 0,cos 0  P ( ) d S  n 则曲面的法向量垂直于渐近曲线 的主法向量，因此曲面的切平面 通过渐近曲线的切线外，还通过 渐近曲线的主法向量，所以它又 是渐近曲线的密切平面. =( , ) 2 n   =   

习题8求曲面z=y的渐进线 解： 曲面的向量形式为F={x,y,y}, 元={1,0，y2},了={01,2xy以，x={0,0,0,i,={0,0,2y以，下2={0,0,2x, E=元元=1+y,F=元元=2xy,G=f元=1+4x2y2, L==0 e,2 2y n=1 0 EG-F2 M=iw·i= V1+4x2y2+y41 0 1 2xy 2x ={-y2,-2xy,1/V1+4xy2+ N=fw·方= V1+4x2y2+y4 渐进线的方程为Ldr2+2Mdrd+Nd2=0,即4ydx+2xdy2=0, 一族为y=0,即y=C,C1为常数； 一族为2yd=-xdy,即lnx2y=C2,或x2y=C

解： 曲面的向量形式为 2 r x y xy = { , , }, 2 {1,0, }, xr y = {0,0,2 }, xy r y = 习题8 求曲面 的渐进线. 2 z xy = 渐进线的方程为 Ldx Mdxdy Ndy 2 2 + + = 2 0, 即 {0,1,2 }, y r xy = {0,0,0}, xx r = {0,0,2 }, yy r x = 4 1 , E r r y x x =  = + 3 2 , F r r xy x y =  = 2 2 1 4 , G r r x y y y =  = + 0, L r n =  = xx 2 2 4 2 , 1 4 xy y M r n x y y =  = + + 2 2 4 2 , 1 4 yy x N r n x y y =  = + + 2 4 2 0, ydxdy xdy + = 一族为 dy = 0, 即 y C C = 1 1 , 为常数； 一族为2 , ydx xdy = − 即 或 2 2 ln , x y C= 2 x y C= . 1 2 3 2 2 1 0 0 1 2 e e e n y EG F xy = − 2 2 2 4 = − − + + { , 2 ,1} 1 4 y xy x y y

习题9证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐进曲线 证明：任取曲线T:干=(s),其主法线曲面为 S:p=(s,t)=(s)+tB(s), p.=@(s)+tB(s)=@(s)+-k(s)@+r(s)7(s)] =[1-k(s)]a(s)+π(s)7(s) p,=s) p,×p,=[1-tk(s)](s)xB(s)+π(s)(s)×B(s) =[1-k(s)](s)+π(s)-a(s).沿曲线T:iL阝 在曲线T:产=(s),上t=0 k =kcose =kcos(i,β)=0 p,×p=7(s) 曲面的法向量方= p,×p, 所以曲线「在它的 EG-F2 主法线曲面上是渐进线

习题9 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐进曲线. 证明：任取曲线  = ：r r s( ), 其主法线曲面为 S s t r s t s : ( , ) ( ) ( ),    = = + ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] s        = + = + − + s t s s t k s s s = − + [1 ( )] ( ) ( ) ( ) tk s s t s s    ( ) t   = s   s t  = −  +  [1 ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tk s s s t s s s      = − + − [1 ( )] ( ) ( )( ( )) tk s s t s s    在曲线  = ：r r s( ), 上 t = 0   s t  =  ( )s 曲面的法向量 2 s t n EG F     = = −  沿曲线  ⊥ : n  所以曲线 在它的 主法线曲面上是渐进线.  cos n k k =  = = k n cos( , ) 0. 

4.渐近网 如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线， 这两族曲线称为曲面上的渐近网 命题3：曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是L=W=0, 证明：必要性：若曲纹坐标网是渐近网，则d=O或dv=0应满 足渐近曲线的微分方程Ldu2+2Mdud+Ndw2=O 代入得L=N=0 充分性：若L=N=0,又d=0或d=0,代入 Ldu'+2Mdudy Ndy? 必有Ldhu2+2 Mdudv+Nd2=0 即曲纹网是渐近网 思考：平面上的任意曲线是否为平面的渐进方向？

4. 渐近网 如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线， 这两族曲线称为曲面上的渐近网. 命题3：曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是L=N=0. 证明：必要性：若曲纹坐标网是渐近网，则du=0或dv=0 应满 足渐近曲线的微分方程 代入得L=N=0. 2 0 2 2 Ldu + Mdudv + Ndv = 充分性：若L=N=0,又du=0或dv=0,代入 必有 即曲纹网是渐近网. 2 2 Ldu + 2Mdudv + Ndv 2 0 2 2 Ldu + Mdudv + Ndv = 思考：平面上的任意曲线是否为平面的渐进方向？

二、共轭方向 1.定义：设曲面上P点处的两个方向分别为(d)=du:d,(⑥)=6：6v 如果包含这两个方向的直线是P点的迪潘指标线的共轭直径， 则这两个方向称为曲面的共轭方向 Lx2+2My+Ny2=±1 Mi(x.y) M2(x22) Lx2+2My+W2=±1 (1) Lx2+2Mx2y2+Ny22=±1(2) (1)-(2)得 L(x2-xx2+x)+2M(x22-xy)+N(2-)y2+y)=0 L+2M,h-y一+N必-y+)=0 (x2-xx2+x)(x2-x2+x) k=当-y,k'=+当)/2-0=当+当 X2-X1 (x2+x)/2-0x2+x L+M(k+k)+Nkk'=0

二、共轭方向 1.定义：设曲面上P点处的两个方向分别为 如果包含这两个方向的直线是P点的迪潘指标线的共轭直径， 则这两个方向称为曲面的共轭方向. ( ) : ,( ) : d du dv u v = =    P x y 1 1 1 M x y ( , ) • 2 2 Lx Mxy Ny + + =  2 1 2 2 2 • ( , ) M x y M • 2 2 1 1 1 1 Lx Mx y Ny + + =  2 1 (1) 2 2 2 2 2 2 Lx Mx y Ny + + =  2 1 (2) 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 L x x x x M x y x y N y y y y ( )( ) 2 ( ) ( )( ) 0 − + + − + − + = 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( )( ) 2 0 ( )( ) ( )( ) x y x y y y y y L M N x x x x x x x x − − + + + = − + − + 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) / 2 0 , ' ( ) / 2 0 y y y y y y k k x x x x x x − + − + = = = − + − + L M k k Nkk + + + = ( ') ' 0 (1)-(2)得

2.共轭条件：在点P设共轭方向(d),(δ)上两直线方程分别为 y=kx,y=k'x 则其满足共轭条件 Lo+Mo(k+k)+Nokk'=0 但 k=业、d k'=上= x du x Su 则此方向(d),(δ)共轭的条件为 Lduou+M(duov+oudv)+Ndvov =0 由于 -dn.or=-(n,du+ndv)(rou+rv) =Lduou+M(duov+Sudv)+Ndvov 所以两方向共轭也可写为 dn·=0或idf=0 特别当(d)=(δ)时，条件就为Ldu2+2 Mdudv+Ndw2=0 为渐近方向，故渐近方向为自共轭方向

2.共轭条件：在点P0设共轭方向 上两直线方程分别为 则其满足共轭条件 ( ),( ) d  0 0 0 L M k k N kk + + + = ( ') ' 0 y kx y k x = = , ' 0 0 0 L du u M du v udv N dv v     + + + = ( ) 0 Ldu u M du v udv Ndv v dn r n du n dv r u r v u v u v        = + + + −  = − +  + ( ) ( ) ( )       所以两方向共轭也可写为 dn  r = 0 n dr = 0      或  特别当 时，条件就为 为渐近方向，故渐近方向为自共轭方向. (d) = ( ) 2 0 2 2 Ldu + Mdudv + Ndv = 由于 但 则此方向 共轭的条件为 , ' , y dv y v k k x du x u   = = = = (d),( )