《微分几何》课程教学课件（讲稿）第2章 空间曲面 2.3 曲面的第二基本形式 2.3.5 曲面的主法方向和曲率线

2.3曲面的第二基本形式 2.3.5曲面的主方向和曲率线 一、主方向定义 二、主方向判别定理(Rodrigues定理) 三、曲率线与曲率线网

2.3.5 曲面的主方向和曲率线 2.3 曲面的第二基本形式 一、主方向定义 二、主方向判别定理（Rodrigues定理） 三、曲率线与曲率线网

2.3.5曲面的主方向和曲率线 一、主方向 1.定义曲面上一点P的两个方向，如果它们既正交又共轭， 则称之为曲面在P点的主方向 2.主方向满足的条件 (1)设两个主方向为(d)、(6) (d),()正交台d.r=0 Eduu+F(duv+Sudv)+Gdvv =0 (d),(6)共轭台df·6n=0或6r.di=0 台Ldusu+M(duv+udhv)+Nhvδv=O

2.3.5 曲面的主方向和曲率线 一、主方向 1.定义 曲面上一点P的两个方向，如果它们既正交又共轭， 则称之为曲面在P点的主方向. 2.主方向满足的条件 ( ),( ) 0 0 d dr n r dn    共轭  =  = 或 ( ) ( ) 0 d dr r ，  正交  = (1) 设两个主方向为(d)、(  )  + + + = Edu u F du v udv Gdv v     ( ) 0  + + + = Ldu u M du v udv Ndv v     ( ) 0

(d),(6)正交→Eduδu+F(dhu6v+6ud)+Gdhvδv=0 (d),(6)共轭台LduSu+M(dhu6v+udhw)+Ndhvδv=0 可改写成 (Edhu+Fdv)δu+(Fdu+Ghw)δv=0 (Ldu+Mdv)δu+(Mdu+Ndhw)δv=O 消去u,得 Edu+Fdy Fdu+Gdv D= Ldu+Mdy Mdu+Ndv 0 Edu Fdu Fdv Gdv D= Ldu+Mdy Mdu+Ndy Ldu+Mdy Mdu+Ndv du E du M +dudv(EN-GL)+dv2

Ldu u M du v udv Ndv v     + + + = ( ) 0 Edu u F du v udv Gdv v     + + + = ( ) 0 消去 u,v 得 0 Edu Fdv Fdu Gdv D Ldu Mdv Mdu Ndv + + = = + + ( ),( ) d  共轭 ( ) ( ) d ， 正交 ( ) ( ) 0 Edu Fdv u Fdu Gdv v + + + =   ( + ) ( ) 0 Ldu Mdv u Mdu Ndv v   + + = 可改写成 + Edu Fdu Fdv Gdv D Ldu Mdv Mdu Ndv Ldu Mdv Mdu Ndv = + + + + 2 2 + + E F E F F G F G du dudv dudv dv L M M N L M M N = + 2 2 + ( ) E F F G du dudv EN GL dv L M M N = − +

E +dudv(EN-GL)+dv2 G D=du L M du E 这就是主方向所满足的条件，也可写成 dv2 -dudy du" E F G =0 L M 展开得 (EM-FL)du+(EN-GL)dudy+(FN-GM)dy=0 其判别式为 A=(EN-GL2-4(EM-FL)(FN-GM) [【w622FaM

0 2 2 = − L M N E F G dv dudv du 展开得 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 EM − FL du + EN −GL dudv+ FN −GM dv = 这就是主方向所满足的条件，也可写成 2 2 + ( ) E F F G D du dudv EN GL dv L M M N = − + 2 2 + E F E G F G du dudv dv L M L N M N = + 其判别式为 2  = − − − − ( ) 4( )( ) EN GL EM FL FN GM 2 2 2 2 2 4( ) ( ) ( ) ( ) F EG F EN GL EM FL EM FL E E   − = − − − + −    

3.主方向的个数 A(EN-G)2(M) E2 由主方向满足的方程知，主方向的个数由它的判别式确定： 1)△>0，方程有两个不同实根，有两个不同的主方向，即 Dupin指标线的主轴方向； 2)没有判别式小于零的情况。 3)△=0当且仅当EN-GL=EM-FL=0时.此时有 EFG LM N 定义：若曲面上一点处有EL=FM=GN,则这种点称为 曲面上的脐点

3.主方向的个数 由主方向满足的方程知，主方向的个数由它的判别式确定：  2 2 2 2 2 4( ) ( ) ( ) ( ) F EG F EN GL EM FL EM FL E E   − = − − − + −     1）Δ>0，方程有两个不同实根，有两个不同的主方向,即 Dupin指标线的主轴方向； 2）没有判别式小于零的情况。 3） Δ=0当且仅当 EN – GL = EM – FL = 0 时. 此时有 定义：若曲面上一点处有 E/L=F/M=G/N，则这种点称为 曲面上的脐点. . E F G L M N = =

结论 1)曲面上每非脐点总有两个不同的主方向，它们是迪潘(Dupin) 指标线的主轴方向 2)在脐点处，有EL=F/M=GN,行列式 dv2 -dudy du? E F G =0 L M 为恒等式，即对于任何方向，行列式为零，因此在脐点的每个 方向都是主方向. 3)L=M=N=O的脐点称为平点，L,M,N不同时为零的脐点叫圆点

结论： 1）曲面上每非脐点总有两个不同的主方向，它们是迪潘(Dupin) 指标线的主轴方向. 0 2 2 = − L M N E F G dv dudv du 2）在脐点处，有 E/L=F/M=G/N，行列式 3）L=M=N=0的脐点称为平点，L,M,N不同时为零的脐点叫圆点. 为恒等式，即对于任何方向， 行列式为零，因此在脐点的每个 方向都是主方向

例4球面上每一点都是圆点」 证明产={Rcos0cosp,Rcos0sinp,Rsin0} ={-Rcosesing,Rcosecoso,0) =-Rsinecoso,-Rsinsino,Rcos0; 得曲面的第一类基本量 E=。i=Rcos20,F=。6=0,G=66=R2, i=元x/WEG-FP={cos6cos0,cosin,.sin60队. To={-Rcosecosp,-Rcosesin,0; L=Ti=-Rcos20, Too={Rsinsinp,-Rsincoso,0) M=Ton=0, Too={-Rcosecoso,-Rcos0sing,-Rsine N=iae·i=-R, 知

例4 球面上每一点都是圆点. 证明 r R R R ={ cos cos , cos sin , sin }.      r R R { cos sin , cos cos ,0}  = −     r R R R { sin cos , sin sin , cos }  = − −      得曲面的第一类基本量 2 2 E r r R cos , =  =    F r r 0, =  =   2 G r r R . =  =   2 n r r EG F {cos cos ,cos sin ,sin }. =  − =        2 L r n Rcos ,  =  = −  M r n 0, =  =  N r n R, =  = −  r R R { cos cos , cos sin ,0}  = − −     r R R { sin sin , sin cos ,0}  = −     r R R R { cos cos , cos sin , sin }  = − − −      . E F G L M N 知 = =

二、主方向判别定理(Rodrigues定理)：若方向(d)是主方向， 则d=df,其中=-kn,kn是曲面沿方向(d的法曲率； 反之，如果对于方向(d)有di=d,则(d是主方向，且2=-kn,k 是沿方向(d的法曲率 证明设(d是主方向，()是与(d垂直的另一主方向，由n·n=1 得di·n+n·di=0→n⊥di→di在切平面上 di=cdf+uo→di·=df.+u()2 由正交和共轭条件得4（衍）2=0，但主方向不为零，所以μ=0 于是有di=d,两边点积d·df=( 即：-Ⅱ=I,所以人=-k 反之，设di=d,(⑥)是与(d④垂直的另一方向， dn=df→di6r=λdf.8r=0→(d),(8)共轭

二、主方向判别定理（Rodrigues定理）：若方向（d）是主方向， 则 ，其中 是曲面沿方向(d)的法曲率； 反之，如果对于方向(d)有 ,则(d)是主方向,且 是沿方向(d)的法曲率. dn dr   =  n n  = −k , k dn dr   =  n n  = −k , k 证明 设(d)是主方向， 是与(d)垂直的另一主方向，由 得 由正交和共轭条件得 于是有 ，两边点积 即： ，所以 n n =1   dn n n dn n dn dn在切平面上，         +  = 0 ⊥  2 dn dr r dn r dr r ( r)         =  +    =   +   ( ) 0 0 2  r = ，但主方向不为零，所以 =  () 2 dn dr (dr)    dn dr  =    =  − =  II  . n  = −k 反之，设 dn dr ， 是与(d)垂直的另一方向，   =  () dn dr dn r dr r d =   =  =       0 ( ),( )共轭

三、曲率线与曲率线网 1定义曲面上一曲线，如果它上面的切方向都是主方向，则称 为曲率线， 2.曲率线的微分方程是dv2-dudy du2 E F G =0 L M N 注：这个方程既是主方向的条件，也是曲率线的微分方程， 前者是对曲线上一点而言，后者是对整条曲线而言 注：球面上每一点都是圆点，平面上每一点都是平点，因此 球面上和平面上的每一条曲线都是曲率线 3.曲率线网 曲率线的微分方程为二次方程式，所以它确定了曲面上的 两族曲率线（每一点都有两条），这两族曲率线构成的网称为 曲面上的曲率线网

三、曲率线与曲率线网 1.定义 曲面上一曲线，如果它上面的切方向都是主方向，则称 为曲率线. 2.曲率线的微分方程是 3.曲率线网 曲率线的微分方程为二次方程式，所以它确定了曲面上的 两族曲率线（每一点都有两条），这两族曲率线构成的网称为 曲面上的曲率线网. 0 2 2 = − L M N E F G dv dudv du 注：这个方程既是主方向的条件，也是曲率线的微分方程， 前者是对曲线上一点而言，后者是对整条曲线而言. 注：球面上每一点都是圆点，平面上每一点都是平点，因此 球面上和平面上的每一条曲线都是曲率线

4.曲纹网为曲率线网的条件 先证明在不含脐点的曲面片上，选择适当参数，可使曲率 线网成为曲纹坐标网， 从曲率线网的微分方程，可得两族曲率线的微分方程，可表示为 Adu+B,dv =0(i=1,2) 设2为它们的任何积分的积分因子，则有 du=AAdu+ABdv,dv=AAdu+AB,dv 而在曲面上的每一点，两个方向互相垂直，所以曲率线彼此不 相切，行列式 (a,)_A41B a(u,) 23A元2B2 引进u,下为新参数，则u,v成为新的曲纹坐标，这样就使曲 面上的曲率线网成了曲纹坐标网 注：该证明说明曲面上的任何一个正规网都可选为曲纹坐标网 特别是曲率线网可选为即正交又共轭的曲纹坐标网

4.曲纹网为曲率线网的条件 先证明在不含脐点的曲面片上，选择适当参数，可使曲率 线网成为曲纹坐标网. 引进 为新参数，则 成为新的曲纹坐标，这样就使曲 面上的曲率线网成了曲纹坐标网. u,v u,v 从曲率线网的微分方程,可得两族曲率线的微分方程,可表示为 0( 1,2) Adu B dv i i i + = = 设 i 为它们的任何积分的积分因子，则有 1 1 1 1 2 2 2 2 du A du B dv dv A du B dv = + = +     , 而在曲面上的每一点,两个方向互相垂直,所以曲率线彼此不 相切,行列式 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 0 ( , ) u v A B A B u v A B A B        = =   注：该证明说明曲面上的任何一个正规网都可选为曲纹坐标网. 特别是曲率线网可选为即正交又共轭的曲纹坐标网