《微分几何》课程教学课件（PPT讲稿）参数曲线

§2.1/ 参数曲线

§2.1 参数曲线

1曲线的参数表示 设y:[a,b]→R3是连续的向量函数 y(t)=x(ti+ytj+z(t)ki,j,k}是R3中的自然标架 =1,0,0),j=0,1,0),k=(0,0,1, 我们把y(t)称为R3中的参数曲线.以后把 y(t)=(x(t),y(t,z(t》称为曲线的参数方程 如果yt还是可微的向量函数，根据导数定义得 y'(t)=(x'(t),y'(t,z'(t》 如果存在t∈[a,b]y'(t)≠0我们说曲线在yt有 唯一确定的切方向，有唯一的切线可表示为 X(u)=y(to+uy'(to)y()称为曲线的正则点

3 3 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 : [ a,b] R ( t ) x( t )i y( t ) j z( t )k { i,j,k } R i ( , , ), j ( , , ), k ( , , ), ( t ) R ( 1. t ) ( x( t ), y( t ),z( t )) ( t )      → = + + = 设 是连续的向量函数 是 中的自然标架 = = = 我们把 称为 中的参数曲线. 以后把 称为曲线的参数方程. 如果 还是可 曲线的参数表示 微的向量 函数, 根 0 0 0 0 0 0 0 '( t ) ( x'( t ), y'( t ),z'( t )) t [ a,b] '( t ) ( t X( u ) ( t ) u '( ) t ) (t )       =  + =  据导数定义得 如果存在 我们说曲线在 有 唯一确定的切方向, 有唯一的切线可表示为 称为曲线的正则点

我们来定义正则曲线 如果R中的参数曲线y(t)满足 (i)y(t)至少三次以上连续可微； (ii)t∈[a,b],有y'(t)≠0.曲线处处是正则点； 我们称曲线y(t为正则曲线 可以验证正则曲线与空间直角坐标系的选取无关，与曲线可容许 的参数变换无关， (1).假设y(t)在自然标架IO;i,j,k}下参数表示为 y(t)=(x(t,y(t),z(t》 在新的空间直角坐标系I'O';e,e2,e3}下表示为 y(t)=(x'(t),y'(t),z'(t》

3 0 R ( t ) ( i ) ( t ) ( ii ) t [ a,b], '( t ) ( t ) . ( t ) I{ O;i, j,k } ( t ) ( x( t ), y( t ),z( t ))          = 我们来定义 如果 中的参数曲线 满足 至少三次以上连续可微; 有 . 曲线处处是正则点; 我们称曲线 为正则曲线 可以验证正则曲线与空间直角坐标系的选取无关,与曲线可容许 的参数变换无关. (1). 假设 在自然标架 下参 正 数表示为 在新 则曲线 的空间直 1 2 3 I '{ O';e' ,e' ,e' }  ( t ) ( x'( t ), y'( t ),z'( t )) = 角坐标系 下表示为

从I到I'的过渡矩阵为A,曲线y(t)从I到I'的坐标变换公式为 x(t) x'(t) (t) C +4 y'(t) z(t) z'(t) 于是看出当y(1)在中是三次以上连续可微，在I'中也是 在I中y'(t)≠0，在I中亦然 于是正则曲线y(t)经过坐标变换仍是正则曲线 (2).如果参数变换t(u)满足(a)tw三次以上连续可微； (b)t'处处非零； 我们说参数变换t(u是可容许的参数变换， 经过可容许参数变换t(u,曲线变为y(t(u》=(x(t(u月，y(t(u儿，z(t(u》 每个分量是复合函数，容易看出仍是三次以上连续可微； dyu少=yr'(u)≠0，当t创处处非零 du

1 2 3 0 2 I I ' A, ( t ) I I ' x( t ) c x'( t ) y( t ) c A y'( t ) z( t ) c z'( t ) ( t ) I I ' . I '( t ) , I' ( t ) . ( ). t( u ) (a)                 = +        从 到 的过渡矩阵为 曲线 从 到 的坐标变换公式为 于是看出当 在 中是三次以上连续可微,在 中也是 在 中 在 中亦然. 于是正则曲线 经过坐标变换仍是正则曲线 如果参数变换 满足 t(u) ( b ) t'(u) t( u ) . t( u ), ( t( u )) ( x( t( u )), y( t( u )),z( t( u ))) , d ( t( u )) '( t )t'( u ) 0, t'(u) du    = =  三次以上连续可微; 处处非零; 我们说参数变换 是 的参数变换 经过可容许参数变换 曲线变为 每个分量是复合函数 容易看出仍是三次以上连续可微; 当 可容许 处处非零

正则曲线y(t)经过可容许的参数变换仍是正则曲线. 特别地，如果可容许的参数变换t(还满足t'(u)>0 则 dy(t(u》 du =y(1r'(u)于是参数变换保持曲线的切方向， 我们称这种参数变换为保正向的参数变换 我们来给一些曲线的例子，说明它们的正则性， 例1圆螺线y(t)=(acost,asint,bt)a>0 Y'(t)=(-asint,acost,b)y'(t)=a2+b2+0 y(t是正则曲线 例2平面曲线y(t)=(t2,t)切方向y'(t)=2t,3t2) y'0)=0,0)不是正则曲线.（如下图）

0 0 ( t ) t( u ) t'( u ) d ( t( u )) '( t )t'( u ) . du ( t ) ( a cos t,a sint,bt ) a '( t ) ( a sint,a cos t,b ) | 1 '(        = =  = − 正则曲线 经过可容许的参数变换仍是正则曲线. 特别地, 如果可容许的参数变换 还满足 则 于是参数变换保持曲线的切方向 我们称这种参数变换为保正向的参数变换. 我们来给一些曲线的例子, 说明它们的正则性. 例 圆螺线 2 2 2 3 2 0 2 3 0 0 0 t )| a b ( t ) . ( t ) ( t ,t ) '( t ) ( t, t ) '( ) ( , )     = +  = = = 是正则曲线 平面曲线 切方向 不是正则曲线.( 例2 如下图)

2.曲线的函数表示 Y(x)=(x,y(x,(x》x是参数 正则曲线在局部上都可以表示成上面的形式 设正则曲线的参数表示y(t)=(x(t),y(t,z(t》 由y'(t)≠0，局部上不妨设x'(>0于是局部上有='(x) y(t)=y(t(x》=(x,y(t(x儿，z(t(x)》

2 3 2 3 x t x y y t  =  =  = 1 1 1 0 -1 ( x ) ( x, y( x ),z( x )) x ( t ) ( x( t ), y( t ),z( t )) '( t ) , x'(t)>0 t=t ( x ) ( t ) ( t ( x )) ( x, y( t ( x )),z( t ( x )))      − − − = =  = = 是参数. 正则曲线在局部上都可以表示成上面的形式 设正则曲线的参数表示 由 局 2.曲线的函 部上不妨设 于是 表示 局部上有 数

3.曲线的方程表示 两个曲面的交 f(x,2)=0 *) 8(x,y,2)=0 表示曲线y(t)=(x(t,y(t),z(t儿，将y(t)代人*中得 f(x(t,yt,z(t》=0 方程组对求导得 8(x(t),y(t),z(t》=0 xw+yn)+ 8 ay ()=0 2 (*) gx(t) y'()+ ay g)=0 (*)说明y'(t川l ,斗)x路g照) Ox'oy'd

0 0 0 0 0 0 f ( x, y,z ) (*) g( x, y,z ) ( t ) ( x( t ), y( t ),z( t )), ( t ) (*) f ( x( t ), y( t ),z( t )) t g( x( t ), y( t ),z( t )) f f f x'( t ) y'( t ) z'( t ) x y z (**) g g g x'( t ) y'( t ) z'( t ) z 3 x y    =   = =  =   =     + + =        + + =    两个曲面的交 表示曲线 将 代人 .曲线的方程 中得 方程组对 表示 求导得 f f f g g g '( t ) ( , , ) ( , , ) x y z x y z                   (**)说明

y(t)是正则曲线→ rank g f 于是不妨设 By ≠O由隐函数存在性定理 0g 0g 8x Oy 方程组*可以局部上确定隐函数y=yx)和z=) 于是曲线y(t)局部上可表示为(x,y(x,z(x》 如无特殊说明，以后我们说的曲线都是正则曲线

fff , , x y z ( t ) rank =2 ggg , , x y z f f x y 0 g g x y (*) y=y(x) z=z(x) ( t ) ( x, y( x ),z( x ))                                 是正则曲线 于是不妨设 由隐函数存在性定理 方程组 可以局部上确定隐函数 和 于是曲线 局部上可表示为 如无特殊说明, 以后我们说的曲线都是正则曲线