《微分几何》课程教学资源（参考教材）微分几何课外教材

第一章 三维欧氏空间的曲线论 §1曲线曲线的切向量孤长 物理学中，曲线常被看作质点运动的轨迹，时间是描述质点 运动的参数.在微分几何中，也常常采用参数方程来表示曲线。 设{O,y是中的笛卡尔直角坐标系， 花=出( y=y(t) (1-1) 名=z() 都是：的连续可微函数（今后我们总假定它们有三阶连续导数）， 设这些函数的定义域是直线！中的一个区间(4，)（区间的增点 0可以是一∞，b可以是+∞)，(1-1)式给出了从(a,)到E中 的一个连续可微映照 t→(c(①，()，z() 在这个映照下，古被映到点P((),y(传)，())，（④，）的象集就 构成了中的一条连续可微曲线0，简称曲钱（见图1）.我们把 t称为曲线0的参救.(1-1)式就是曲线0的参数方程.今后常 把(1-1)式写成向量形式 r=中()=(()，()，z()》 (1-2) 而把曲线上参数为的点P称为点掌()，简称为专点或P()点. 按照参数增加的方向可以确定出曲线的正向（见图1）.称向 h9-(细，0,2） dt t dt, 。1

映照 图1 为曲线在t处的切向量.如果在t一6处女型+0，则称参数为 和的点是曲线r(t)的正则点，否则就称为奇点，曲线C上所有点 都是正则点附，则称)为正则曲战. 例1曲线r=r(t)=(0t,ai血，bt)的轨迹是柱面 x2+y-a2上间距为2xb的一条圆柱螺线（图2），它是一条正则 曲线

例鲁·曲线()=(”，”，0)，∈，在=0处， r(0-(0,0,09 诚 所以t=0点不是正删点（见厨3）. 如果采用另一个参教玉，则曲线0的方程为掌=（闭.为了 保证和无一一对应，参数变换式=()必须潮足 票+0 为了使元，的增加方向都相应于曲线的正向，则要求 恶>0 (1-3) 于是由密一部警知道，雪线0上一点蜘在取参数1时为正 则点，则在取参数玉时也必为正则点。 对于正则曲线了=r(),称 0-9 14) 为曲线从参数和到古处的薰长，其中 12-+2+2町 是切向藏血的长度。 设曲线O上两点P。,P在曲线的不同参数，舌的选取下， P。点的参数分别为，o,点P的参数分别为，云.令()是曲 线从6到：的孤长，（团）为曲线从0到言的氟长.设在参数变换 下，密>0，胸有 闭-z-既恶} -儿露-0 ，3·

因此弧长只依懒于曲线上的点P。、P,而与参数的选取无关。 显然，弧长是专的可微函数，且 =*0 Pi-1 密-2|- () 对正则曲线，血@+0，所以 dt 密>0，于是可琅孤长：作为 i=70 新的参数.这时由 =0 图·4 1-×-29 知道，以孤长为参数时曲线的切向量血@为单位向量，反之， 当切向基为单位向盘时（部一，从-④式积出 -x-= 当式中6取0时，可看出就是从=0处起算的弧长（见图4）， 今后如无特别说明，曲线总是指正则曲线，而且()中的为 弧长参数，并用“撤”表示关于多的导数，如 等等

下面我们证明一个定理。 定理设曲线C:r=r(s)(3是孤长参数)的每点有一个单位 向量a(s)(见图5(a)),则有 ao1=2 其中8表示c(8+s)与a(s)的夹角（见图5(）). 证明 a'01-Hnas+》-a@ -a+2al- 14s| s}a 定理证毕. 分 色 1计算下列曲线从：=0起的蔬长 ()双曲螺线r=(aoht,4sh多，b) (2)悬链线-G,ach片，0) (3)曳物线r=(acost,an(eo+g)一&int,0) 2求平面曲线的极坐标方程p=p()下的长公式，其中p为极径，日为极 角. 3用孤长参数表示圆柱螺线与双曲螺线， 4设曲线C:r=r()不通过原点，r()是C距原点最近的点.且r'(o)+0. 证明r(o)正交于'(o). 5设Cr=r()是参数曲线，m是面定向量.若对任何，(e)正交于m, 且r(O)正交于m,证明对任何，r()正交于m, ·5

6设平面曲线C在同一平面内直线1的同侧，且与【相交于曲线C的正则 点P.证明：直线【是曲线C在点P处的切线 §2主法向量与从法向量曲串与挠率 对曲线r=r(8),用T()表示单位切向量，即 T(s)=r'() (1-6) 由上节末的定理，我们可用|T“(3){一r"(){来表示曲线上 两邻近点，+4的切向量T(),T(g+s)之间的夹角与s之 比在→0时的变化情况，它度量了曲线上邻近两点的切向量的 夹角对弧长的变化率，反陕了曲线的“弯曲程度”、 定义称（⊙“(）为曲线”()在点的曲率.当() 0时，其倒数②)-可称为曲线在。点的曲率半径. 例1对于直线r()=语十乜，其中4，为常向盘，-1. 于是k量0.反之，若曲线O的曲率=|r“()引画0，则从微分方 程器-0中解得r-+心，其中队，心是茶向置因面南被 O是直线.所以直线的特征是=0， 例2对于圆周r(间-(rco是，r如)，其中为圆的半 径这时回=子 一般地说，如向量a(具有定长，则对a(8)a(④)=c(常数) 两边求导后就得到c心()·a()-0,即d'(与a(0正交.现在 T()是单位向量，所以T()与它的导向量T()=”(④)正 交， 定义当()*0时，在T()=“(④)方向上的单位向量 N()称为曲线在s处的主法向量，于是有T()=()Na).通 过点(8)，‘由单位切向量T(s)与主法向量N()所张成的平面称 ·6·

为&处的密切平面.单位向量B()±T(8)×N(e)称为点掌(s)处 的从法向量，它正交于密切平面.通过点掌()由T()与从法向量 乃()所张戒的平面称为点 T(8)处的从切平面，通过点 法平面 r(8),由主法向量N(8)与从 法向量B()所张成的平面 称为意处的法平面（图6）. 对B.T=0求导，得 2n 密切 B·T=0.又因B是单位 图6 向量，所以B·B=0,因此B(a)平行于N(). ·定义设"≠0，则由B(d=-r()N(。所确定的函数x(①) 称为曲线在·处的烧串， 显然有 r(o-B(8)-N() (1-7) 的 Ix(|=B() 从上节末的定理知道，x()|一B()|度量了曲线上邻近两点的 从法向量的夹角（即密切平面的夹角）对孤长的变化率， 由于曲线的孤长多与曲线的参数选取无关，所以曲率上（④）一 1“()川及挠率x(8)一一B(国)·N()都与曲线的参数选取无关. 定义通过r(a)点，以T()、N()或B(④为方向的直线分 别称为曲线拿（®）在多处的切战、主法线或从法线。 我们有下列定理。 定理曲线是平面曲线的充要条件是曲线上每一点的挠率都 为0. 证明必要性：设曲线r(④位于一个平面上，设B。是这个平 面的法向量.于是有(？一(0)·B=0.两边求导后得到TB。 -0,T,B。=0,因此T,N都与B。垂直，所以B(s)-T×N是 、7

与常向量B。平行的单位向量，故B()=0,即=0. 充分性：设x0(不妨设中0，否则此曲线为直线，当然是平 面曲线).则B()-B(常向量)，因而 (r(s)·Bo)'=r'(8)·Bo=0 即r(8)B。为常数，于是 r(8)·B0=r(0)·Bo 即 (r()-r(0)·B。=0 所以(8)为一平面曲线.定理证毕 当曲线改变定向（即弧长的度量方向颠倒）时，曲率与挠率不 变.事实上，此时弧长参数8=0一&，=一，因此切向量T反 向，而T不变，从而曲率不变；从法向量B()反向，而B()不 变，从而挠率不变 例3求圆柱螺线T(9)=(r cosw8,rsino3,hws)的曲率和挠 率，其中2，及仙=(+童均为常数. 容易验证引'(s)川=1所以&是弧长参数. T(s)=w(-r sin as,r coso,h) T(s)-w'r(006 sin ,0) 因此，曲率(8)■wr N(8)=(-c08as,-gino8,0) B(e)-T×N-u(in os,-hcosas,r） B'(s)-w"h (cos as,sin as,0) 所以，挠率x(⑧)=h.因而圆柱螺线的曲率、挠率均为常数. 例4一般螺线如果一条曲线的切向量始终与一固定方向 交于定角，则称此曲线为一般螺线.现在证明：曲率不等于零的曲 线r@是一般螺线的充要条件为得-6（带数）. 证明必要性：设螺线的切向量与固定方向“成定角日， ·8·

u=1,则有T.i=co36. 因为是*0，由 0=(T)'=T.u=kN.u 知N正交于4.这时，u=xT+yB,其中 w=c0s8,y-土gi血0 则 0=W-cog0kN干sim0xN 郎 kcos6=土rin8 从而 君=士啷9=士（常数） 充分性：设T=ck,c为常数.取B使ctg日=c,0<0<匹.设 u=cos9T+sin6B,计算可得W=0,T.w=oos0,即u是一固定 向量，且与r(⊙)的切向量成定角6，所以r()为一般螺线.命题证 毕。 在例3中，挠率是按定义直接计算得到的，实际上，成立如下 的公式 (=(r(),"(,"()/八r"(1(1-7 这是因为，由”=Y,r"-N+W,再抽BN=0就可得 t=-B'.N-N'.B=N'.(TxN -2”="2 这里(r',",")表示三个向量r',r”,w的混合积 当不以弧长8为参数时，读者可利用 '(y=r®k dt移 及其导数的式子，不难推得在任意参数下，曲率及挠率的计算公 式： 9·

0密×器 (1-8) (亭路路) ()= × 如果两条曲线"()，1()的值及其直至n阶导数的值在 =to处相等，则称这两条曲线在t=处是阶接触的.由(18) 式可见，两条曲线在处如果是三阶接触，则在这点的曲率、挠率 都相等. 例5求椭圆"()-(a cost,bint,0)的曲率与挠率， rg搜-(-a面，bo80,高-√云面+8o车1 dt 因此不是孤长参数 r®-(-a0o8t-bmt,0) dt r-asin黄，-bco8t,0) t dr×r②=0,0，ab) 代入公式(1-8)，计算后得到 0石m干co时 x=0(平面曲线) 我们要证明下面定理： 定理“曲线的弧长、曲率与挠率都是运动的不变量， 证明设曲线r()=(然(t),1(),名(t)与曲线r(化)- (x(t),y(),z()只差一运动，即从r()到r1()的变换为 。10·