《微分几何》课程教学课件（讲稿）第2章 空间曲面 2.3 曲面的第二基本形式 2.3.7 曲面在一点邻近的结构

2.3曲面的第二基本形式 2.3.7曲面在一点邻近的结构 一、椭圆点 二、双曲点 三、抛物点

2.3 曲面的第二基本形式 2.3.7 曲面在一点邻近的结构 一、椭圆点 二、双曲点 三、抛物点

为了研究曲面的弯曲性，我们注意到高斯曲率 K= LN-M2 EG-F2 (EG-F2=(G×f)2>0), K的符号由LN-MP的符号来确定 K>0的点为椭圆点； K<0的点为双曲点； K=0的点为抛物点；

为了研究曲面的弯曲性，我们注意到高斯曲率 2 2 2 2 ( ( ) 0) u u LN M K EG F r r EG F − = − =   − , K 的符号由 的符号来确定. 2 LN M− K  0 的点为椭圆点； K  0 的点为双曲点； K = 0 的点为抛物点；

一、椭圆点LN-M2>0或K=kk2>0 k1,k2同号，K1>0,K2>0或K10,K2>0情形 根据欧拉公式 K=K COs20+K2 sin20>0 此时曲面的任意方向的法曲率都大于零，由法曲率的定义 K。,法截线向的正向弯曲， Kn三 -K。,法截曲向的反向弯曲。 得法曲率就是相应的法截线的曲率，所以曲面沿所有方向都朝 法向量的正侧弯曲

一、椭圆点 k k 1 2 , 同号，   1 2   0, 0 或 1 2     0, 0. LN M− 2 0 或 1 2 K k k =  0 适当选取曲面的法向量 n ，只考虑主曲率   1 2   0, 0 情形. 根据欧拉公式 此时曲面的任意方向的法曲率都大于零，由法曲率的定义 得法曲率就是相应的法截线的曲率，所以曲面沿所有方向都朝 法向量的正侧弯曲. cos sin 0 2 2 2  n = 1  +   0 0 , , n n n     =  − 法截线向 的正向弯曲, 法截曲向 的反向弯曲

回顾：空间曲线在邻近一点的结构 给定C3类曲线下=(S)及其上一点(s)有 (S+△s)-(s) =(s)△s+产(s)(As)2+(F(so)+(△s)3 A名-式+5arla +s+后+es顶 +6(Ko+6A)'7 r(So+ (s)

回顾:空间曲线在邻近一点的结构 O ( )0 r s  ( ) 0 r s + s  0 0 0  给定 C 3 类曲线 r r(s) 及其上一点 有   = ( )0 r s  ( ) ( ) 0 0 r s s r s   +  − 2 3 1 1 0 0 0 2! 3! =  +  + +  r s s r s s r s s ( ) ( )( ) ( ( ) )( )  2 2 0 1 0 2 3 0 0 2 0 3 0 0 3 0 1 ( )( ) 6 1 1 ( ) ( )( ) 2 6 1 ( )( ) 6 s k s s k s s            =  + − +        +  + +      + + 

主曲率K>0,K,>0,主方向上两条法截线的曲率分别为K1,K2, 这两条法截线都是平面曲线 由第一章的结果，平面曲线在一点邻近的近似方程为y=乃Qx 所以这里得到它的近似方程 都是抛物线，所以曲面在椭圆 点邻近的形状近似于椭圆抛 物面 K2

由第一章的结果，平面曲线在一点邻近的近似方程为 2 2 y = 1 x 主曲率   1 2   0, 0 ,主方向上两条法截线的曲率分别为 1 2  , , 这两条法截线都是平面曲线. 所以这里得到它的近似方程 2 1 1 , 2 y x =  2 2 2 1 y =  x 都是抛物线,所以曲面在椭圆 点邻近的形状近似于椭圆抛 物面. 1  2 n

二、双曲点 LN-M20, 因此对应于主方向k,(飞，)的法截线朝法向量的反（正） 侧弯曲，它们在两个主方向的近似形状为： y=x(k0，开朝上. n 由欧拉公式Kn=K,cos20+K2sin20 得到各方向法曲率的变化情况 00 罗 3元 π 27 k>Ok2 k2 =0 knk/0/k20八k/0/k20k k <0 一→k 可以看出，在四个方向上有飞，=0，它们是 k=0 双曲点的渐近方向

二、双曲点 因此对应于主方向k1（k2）的法截线朝法向量的反（正） 侧弯曲，它们在两个主方向的近似形状为： 2 1 1 1 ( 0), , 2 y x k =   开口朝下 2 2 2 1 ( 0), 2 y x k =   开口朝上. 1 k 2 k k1 = 0 k2 = 0 kn  0 kn  0 或 异号. 2 LN M−  0 1 2 K k k =  0, 1 2 k k, 1 2 适当选取 n 后，可使 k k   0, 0, 可以看出，在四个方向上有kn=0，它们是 双曲点的渐近方向. 由欧拉公式 得到各方向法曲率的变化情况 2 2 1 2 cos sin      n = +  n k 0 2   3 2  2 1 k 2 k 1 k 2 k 1 0 0 0 0 k n  1 k 2 k

进一步用欧拉公式求出渐进方向所对应的θ值 由于n=Kcos20+K2sin0=0,所以 k=0 tan0=± -k ,0=±arctan k,<0 k2 k k=0 在渐近方向的对顶角中， 一对对顶角包含法曲率kn<0 的法截线的方向，这时曲面朝 n 法向量反向弯曲 另一对顶角中，曲面向法 渐进方向 向量的正向弯曲，因此曲面在 双曲点的邻近的形状近似曲 抛物面（马鞍面） 渐进方向

1 1 2 2 tan , arctan k k k k   − − =  =  n  1 k 2 k 1 k 2 k 0 k1 = 0 k2 =  0 n k  0 n k 在渐近方向的对顶角中, 一对对顶角包含法曲率kn<0 的法截线的方向,这时曲面朝 法向量反向弯曲. 另一对顶角中,曲面向法 向量的正向弯曲,因此曲面在 双曲点的邻近的形状近似曲 抛物面(马鞍面). 进一步用欧拉公式求出渐进方向所对应的  值. 由于 ，所以 2 2 1 2 cos sin =0      n = + 1  2 n 渐进方向 渐进方向

三、抛物点LN-M2=0→K=kk,=0 这时两主曲率至少有一个0，不妨设 (1)k1≠0，k2=0(2)k1=k2=0, 对于(1)，设k,<0,k2=0,对应于主曲率的两条法截线中有一条 朝法向量的反向弯曲，另一个主方向是渐近方向，又Km=K1cos20 故除渐近方向外，所有方向的法曲率K。<0,即朝法向量的反向弯曲， 由第一章的结果，主方向上法截线的形状分别近似于 y=x和y=石r 其中前一个是朝法向量的反向弯曲的抛物线，后一个为立方抛物线 k k

三、抛物点 2 1 2 LN M K k k − =  = = 0 0. (1) 0, 0 (2) 0, k1  k2 = k1 = k2 = 对于(1),设 k1<0,k2=0，对应于主曲率的两条法截线中有一条 朝法向量的反向弯曲,另一个主方向是渐近方向,又 故除渐近方向外,所有方向的法曲率 即朝法向量的反向弯曲.    2 1 = cos n 0,  n  n  1 k 2 k 这时两主曲率至少有一个0,不妨设 由第一章的结果,主方向上法截线的形状分别近似于 和 其中前一个是朝法向量的反向弯曲的抛物线,后一个为立方抛物线. 3 2 6 1 y k x  = 2 1 2 1 y =  x

对于平点来说L=M=N=0,因此k=k2=0, 这时主方向上的两条法截线的形状都近似于立方抛物线： y=-

对于平点来说 L=M=N=0，因此 这时主方向上的两条法截线的形状都近似于立方抛物线： 0, k1 = k2 = 3 2 1 . 6 y k x = 3 1 1 , 6 y k x =