《微分几何》课程教学课件（讲稿）第2章 空间曲面 2.1 曲面的概念 2.1 曲面的概念

第二章曲面论 1.曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线） 2.曲面的第一基本形式（第一基本形式、曲线的弧长、正交轨线， 曲面域的面积、等距变换、保角变换) 3.曲面的第二基本形式（第二基本形式、曲面曲线的曲率、 杜邦指标线、渐近线、曲率线等) 4.直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5.曲面论的基本定理（基本方程、基本定理） 6.曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯一波涅公式、 曲面上向量的平行移动) 7.常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗氏几何）

第二章 曲面论 1. 曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线） 2. 曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、正交轨线、 曲面域的面积、等距变换、保角变换） 3. 曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的曲率、 杜邦指标线、渐近线、曲率线等） 4. 直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5. 曲面论的基本定理（基本方程、基本定理） 6. 曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅公式、 曲面上向量的平行移动） 7. 常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗氏几何）

2.1曲面的概念 2.1.1简单曲面及其参数表示 1.初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线约当曲线将平面分成 两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的， 另一个是无限的，有限的区域（约当曲线的内部）称为初等区域 如矩形的内部、圆的内部等 2.简单曲面 如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、 在上的、双方连续的映射（拓朴映射），则把三维空间中的象称为 简单曲面： 今后我们所用的都是简单曲面或曲面

2.1 曲面的概念 2.1.1 简单曲面及其参数表示 1. 初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线.约当曲线将平面分成 两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的, 另一个是无限的,有限的区域（约当曲线的内部）称为初等区域. 如矩形的内部、圆的内部等. 2. 简单曲面 今后我们所用的都是简单曲面或曲面。 如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、 在上的、双方连续的映射(拓朴映射),则把三维空间中的象称为 简单曲面

3.曲面的方程 初等区域G中的点的的笛氏坐标为(，)，它的拓朴象为曲面S,其 上的点的笛氏坐标为（化，yz),故有 x=fj(u,v),y=f(u,v),z=fj(u,v),(u,v)EG 称为曲面S的参数表示或参数方程，和v称为曲面S的参数或曲 纹坐标习惯上写作 x=x(u,v),y=y(u,v),z=2(u,v),(u,v)EG 例：圆柱面 r (u,v) (x.y.) u8) 参数方程为 x=Rcos0,y=Rsine,z=Z R为截圆的半径

3. 曲面的方程 初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v), 它的拓朴象为曲面S,其 上的点的笛氏坐标为(x,y,z),故有 x = f1 (u,v) , y = f2 (u,v) , z = f3 (u,v) , (u,v)∈G 称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲 纹坐标.习惯上写作 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) , (u,v)∈G 例：圆柱面 O 2 u( )  v z( ) •( , ) u v O x y z ( , , ) x y z z R x R y R z z = = = cos , sin ,   参数方程为 R为截圆的半径

例：球面 v(0) 2 (u,v) 本yz) 0 2π G为长方形区域 u=p(经度)，v=(纬度)， <6<0<0<2 2 曲面的方程为 x=Rcosecoso,y=Rcosesino,z=Rsin0 R为球面的半径

例：球面 O 2 u( )  v( )  •( , ) u v 2  + 2  − ( ) ( ), ,0 2 2 2 u v        = = −     经度 ， 纬度 G为长方形区域 R为球面的半径. O x y z ( , , ) x y z z  R  曲面的方程为 x R y R z R = = = cos cos , cos sin , sin     

例：旋转面 v(t) x=p(t) z=Ψ(t) ●(u,) 体y,2) 2π 4网 y G为长方形区域 u=(经度)，v=t(纬度)， 0<0<2π，-0<t<+0 旋转面参数方程为 x=o(t)cose,y=o(t)sine,z=w(t) R为球面的半径

例：旋转面 O 2 u( )  vt() •( , ) u v ( ) ( ), 0 2 , u v t t    = =   −   + 经度 ， 纬度 G为长方形区域 R为球面的半径. 旋转面参数方程为 x t y t z t = = =      ( )cos , ( )sin , ( ). O x y z ( , , ) x y z  ( ) ( ) x t z t    =   =

4.坐标曲线；曲纹坐标网 初等区域G所在平面上的坐标直线v=常数或u=常数在曲 面上的像称为曲面的坐标曲线 v=常数而u变化时的曲线叫u-曲线（线） u=常数而v变化时的曲线叫v-曲线（线） 两族曲线在面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网 对于曲面上任一点P,两族曲线中各有一条经过它 w-曲线 v-曲线

4. 坐标曲线；曲纹坐标网 初等区域G所在平面上的坐标直线v = 常数或 u=常数在曲 面上的像称为曲面的坐标曲线. v = 常数而 u 变化时的曲线叫 u -曲线 ( u线） u −曲线 v −曲线 对于曲面上任一点 P ，两族曲线中各有一条经过它. u = 常数而 v 变化时的曲线叫 v -曲线（v线） 两族曲线在面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网. •

2.1.2光滑曲面、曲面的切平面和法线 1.光滑曲面、正常点、正规坐标网 如果曲面x=x(4,),y=y(w,v),z=z(4,)或r=r(u,)中的 函数有直到k阶的连续微商，则称为k阶正则曲面或C类曲面 C类的曲面又称为光滑曲面 过曲面上一点(4，yo)有一条W-曲线：r=r(wvo) 和一条y一曲线：r=r(w,v) 该点处这两条坐标曲线的切向量 (4,)= 产（u,o），(4,)= 8 r(4,o） 8 如果它们不平行，即”Xr,在该点不为零，则称该点为 曲面的正则点（正常点）

2.1.2 光滑曲面、曲面的切平面和法线 1. 光滑曲面、正常点、正规坐标网 如果它们不平行，即 ru× rv在该点不为零，则称该点为 曲面的正则点（正常点）. ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 u v v r u v r u v u r r u v u v   =   = 如果曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的 函数有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 类曲面. 类的曲面又称为光滑曲面. k C 1 C 过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u—曲线： r = r (u,v0 ) 和一条v—曲线： r = r (u0 ,v) 该点处这两条坐标曲线的切向量

由ru,r,的连续性，若rnXr,在(o,yo)点不为零，则总 存在该点的一个邻域U,使在这个邻域内有r,Xr不为零， 于是在这片曲面上，有一族一曲线和一族”一曲线，它们 不相切，称为曲面的一个正规坐标网 由保号性，在正常点的邻域U(uo,o)内ru×Tv≠0故 Ou 其三个二级子式(x,y) Oy Ou ≠0 Ox Oy 中至少有一个不(u,) 为0，不妨设 兴 Ov v 由隐函数定理，x=x(u,),y=y(u,v)在U中存在唯 一的单值连续可微函数u=u(x,y),v=v(x,y),代入得 z=z[(x,y以，vK,小=z(x,y) 命题1.曲面在正常点的邻域内总可以有上述形式的参数表示

由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总 存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零， 于是在这片曲面上，有一族 u —曲线和一族 v—曲 线，它们 不相切，称为曲面的一个正规坐标网. ( , ) 0 ( , ) x y u u x y v v x y u v          =   x y z uuu x y z vvv                     其三个二级子式 中至少有一个不 为0，不妨设 由隐函数定理， x = x (u ,v) , y = y (u ,v) 在 U 中存在唯 一的单值连续可微函数 u = u (x , y ), v = v( x , y) , 代入得 z = z [ u( x, y),v(x,y)] = z(x,y). 命题1. 曲面在正常点的邻域内总可以有上述形式的参数表示

2.曲面的切平面 dr dt 1)切平面的定义 设曲面曲线为(c): u曲线 u=u(t),v=v(t), 或r=r[u(),v()]=r(), v-曲线 其在曲面上(，yo)处的切方向称为曲面在该点的切方向， 或方向，它平行 d+r或rd)= r()=r di d dt .d+r) (dv 其中，r,分别是在(o,'o)点处的两条坐标曲线的切向量 切方向通用的几种表示：d:d,(d和r'(t)

2. 曲面的切平面 其中 分别是在( u0 ,v0 u v )点处的两条坐标曲线的切向量. r ,r 1）切平面的定义 v-曲线 r u u-曲线 v r dr dt 0 0 0 P u v ( , ) • 或方向，它平行于 或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)， 设曲面曲线为 (c)： u = u (t) , v = v (t) , 其在曲面上( u0 ,v0 )处的切方向称为曲面在该点的切方向， 或 d t d v r d t d u r t r = u + v ( ) ( ) ( ) u v r dv du r dt dv r  t = + 切方向通用的几种表示：du : dv , (d) 和 r (t)

由r)=r.di dv 可以看出，切向量r(t)与，下，共面，但过(4，yo)点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量，r,所确定的平面上. 这个平面我们称作曲面在该点的切平面

可以看出，切向量 与 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 r (t) u v r ,r d t d v r d t d u r t r = u + v 由 ( ) u v r ,r 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 所确定的平面上. 这个平面我们称作曲面在该点的切平面