《微分几何》课程教学课件（讲稿）第2章 空间曲面 2.3 曲面的第二基本形式 2.3.6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率

2.3曲面的第二基本形式 2.3.6曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率 一、主曲率 二、欧拉公式 三、主曲率的一个命题 四、主曲率的一个计算公式 五、高斯曲率和平均曲率 六、极小曲面

2.3 曲面的第二基本形式 2.3.6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率 一、主曲率 二、欧拉公式 三、主曲率的一个命题 四、主曲率的一个计算公式 五、高斯曲率和平均曲率 六、极小曲面

一、主曲率 1.定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率， 也就是沿曲率线方向的法曲率，这是因为曲面在一点处的主方向 就是过此点的曲率线的方向 2.由定义，主方向判别定理可写为： 对于曲率线有d而=-k,d而，k,为主曲率，反之也成立 或：曲面上的曲线为曲率线的充要条件是i=-k,d,k,是主曲率

对于曲率线有 为主曲率, 反之也成立. 或：曲面上的曲线为曲率线的充要条件是 是主曲率. n n dn k dr, k   = − n n dn k dr, k   = − 一、主曲率 2.由定义，主方向判别定理可写为： 1.定义 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率， 也就是沿曲率线方向的法曲率，这是因为曲面在一点处的主方向 就是过此点的曲率线的方向

二、欧拉公式 开始研究曲面上一点（非脐点），法曲率随方向而变化的规律 以及要证明主曲率是法曲率的最大值和最小值 1.在曲面S上选取曲率线网为曲纹坐标网，则F=M=0,这时对于 曲面上任一方向(d),它的法曲率公式变为 ⅡLd2+Ndw2 Kn Edu2+Gdv2 特别沿-曲线(d=O)的方向对应的主曲率为k= E 沿-曲线(d=0)的方向对应的主曲率为k=G

二、欧拉公式 开始研究曲面上一点(非脐点),法曲率随方向而变化的规律. 以及要证明主曲率是法曲率的最大值和最小值. 1. 在曲面S上选取曲率线网为曲纹坐标网，则F=M=0，这时对于 曲面上任一方向(d)，它的法曲率公式变为 2 2 2 2 II n Ldu Ndv Edu Gdv  +  = =  + 特别 沿u-曲线(dv=0)的方向对应的主曲率为 1 , L k E = 沿v-曲线(du=0)的方向对应的主曲率为 2 . N k G =

2.设0为任意方向(d)=(d:dw)和w-曲线（δv=0)方向之间的夹角， 则 Eduδu+F(du6v+dvou)+Gdvδv cos0= Edu?+2Fdudy +Gdv2ESu2+2FSuv+GSv2 Eduδu (F=0,6v=0) √Edhu2+Gdw2VE6u2 c0s20=- Edu? dhu+Gdvz,sin'0=1-cos= Gdv2 Edu2+Gdv? Ldu2+Ndv2 E(Ldu2) G(Ndv2) Kn Edu2+Gdv? E(Edu2+Gdy2) G(Edu2+Gdv2) L Edu? N Gdv2 E Edu2+Gdy2 G Edu2+Gdv2 .K=K COs20+K2 sin20 这个公式称为欧拉(Euler)公式：

2. 设  为任意方向(d)=(du:dv)和u-曲线( ) v = 0 方向之间的夹角， 2 2 2 2 ( ) cos 2 2 Edu u F du v dv u Gdv v Edu Fdudv Gdv E u F u v G v          + + + = + + + + 2 2 2 2 cos , Edu Edu Gdv  = + 2 2 n 2 2 Ldu Ndv Edu Gdv  + = +      2 2 2 1  n = cos + sin 这个公式称为欧拉(Euler)公式. 则 2 2 2 Edu u Edu Gdv E u   = + ( 0, 0) F v = =  2 2 2 2 2 sin 1 cos Gdv Edu Gdv   = − = + 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) E Ldu G Ndv E Edu Gdv G Edu Gdv = + + + 2 2 2 2 2 2 L Edu N Gdv E Edu Gdv G Edu Gdv = + + +

K =K COs20+K,sin20 3.两点说明 1)欧拉公式中只要知道了主曲率，则任意方向()的法曲率 就可以用(d)和-曲线的夹角确定 2)欧拉公式在非脐点成立，但在脐点处也成立，此时 k= =k .K=K cos20+k sin20=k=k2 即任意方向的法曲率都相等

即任意方向的法曲率都相等. 3. 两点说明 2）欧拉公式在非脐点成立，但在脐点处也成立，此时 1 2 L N k k E G = = = 1 2 2 1 2 1 cos sin k k   n =   +  = = 1）欧拉公式中只要知道了主曲率，则任意方向(d)的法曲率 就可以用(d)和u-曲线的夹角确定. 2 2 1 2 cos sin      n = +

三、主曲率的一个命题 命题6曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方 向的法曲率中的最大值和最小值 证明在非脐点，两主曲率不相等，不妨设k<k2,由欧拉公式 K=K cos20+x2 sin20=cos20+K2(1-cos20) K2-Km=(K2-K1)c0s20≥0 →K2≥Km 同理有 Kn-K1=(K2-K)sin2020 →Kn≥K1 即 K1≤Kn≤K2 即主曲率是这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值

三、主曲率的一个命题 命题6 曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方 向的法曲率中的最大值和最小值. 证明 在非脐点，两主曲率不相等，不妨设k1<k2，由欧拉公式 2 2 2 2 1 2 1 2 cos sin cos (1 cos )          n = + = + − 同理有 1 2 1 ( 2 1 )sin 0          − = −  n n 2 2 2 1 ( )cos 0      − = −  n     2 n 即 1   n   2 即主曲率是这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值

四、主曲率的一个计算公式 由主方向判别定理，沿主方向(d)有dn=-kwd,则 indu+n,cy=-kv(匠du+i元dw) 两边分别与r,作内积 indu+indv=-ky(rr,du+rdv) du+dv=-ky (dudv) 即 -Ldu-Mdy=-ky (Edu+Fdy)(L-Eky )du+(M-Fky)dv=0, -Mdu-Ndy =-ky (Fdu+Gdy) (M-Fky)du+(N-Gkx )dv=0 整理得到关于du,d的齐次方程，它有解的充要条件是 L-EkN M-Fk 0 M-Fk N-Gk 这就是主曲率的计算公式，也可用二次方程表示： (EG-F2)k-(LG-2MF+NE)k+(LN-M2)=0

四、主曲率的一个计算公式 由主方向判别定理，沿主方向(d)有 dn kN dr ，则   = − n du n dv k (r du r dv) u v N u v     + = − + 两边分别与ru，rv作内积 r n du r n dv k (r r du r r dv) u u u v N u u u v          +  = −  +  r n du r n dv k (r r du r r dv) v u v v N v u v v          +  = −  +  ( ) − − = − + Ldu Mdv k Edu Fdv N ( ) − − = − + Mdu Ndv k Fdu Gdv N 即 整理得到关于du,dv的齐次方程， = 0 − − − − N N N N M Fk N Gk L Ek M Fk 这就是主曲率的计算公式，也可用二次方程表示： ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0. N N N N L Ek du M Fk dv M Fk du N Gk dv  − + − =  − + − =  它有解的充要条件是 2 2 2 ( ) ( 2 ) ( ) 0. EG F k LG MF NE k LN M − − − + + − = N N

五、高斯曲率和平均曲率 主曲率公式：(EG-F2)k-(LG-2MF+NE)kw+(LN-M2)=0. 1.设k,k为曲面的两个主曲率，则它们的乘积kk称为曲面在 这点的高斯曲率（全曲率，总曲率），记为K,即 K=kk 而k,k的平均数称为曲面在这点的平均曲率（中曲率），用H表示，即 =二(k+k2) 2 由韦达定理知 LN-M2 K=kk=G-E:H=5()=G-2M+NE 2(EG-F2)

五、高斯曲率和平均曲率 1. 设k1 , k2为曲面的两个主曲率，则它们的乘积k1 k2称为曲面在 这点的高斯曲率(全曲率,总曲率)，记为 K，即 2( ) 2 ( ) 2 1 , 2 1 2 2 2 1 2 EG F LG FM NE H k k EG F LN M K k k − − + = + = − − = = 2 2 2 ( ) ( 2 ) ( ) 0. 主曲率公式： EG F k LG MF NE k LN M − − − + + − = N N 而k1 , k2的平均数称为曲面在这点的平均曲率(中曲率),用H表示,即 1 2 1 ( ). 2 H k k = + 由韦达定理知 K= k1 k2

主曲率公式：(EG-F2)k-(LG-2MF+NE)kw+(LN-M2)=0. 答·1=+ LN-M2 2(EG-F2) 2.对于显函数z=z(x,y)表示的曲面有下={x,y,(x,y)} 元={1,0,2}={1,0，p以，万，={0,1,3}={0,1，q}ix={0,0,2}={0,0,r, ={0,0,2}={0,0,2n}=万n={0,0,s以，元n={0,0,2p}={0,0, E=i万=1+p2,F=元元=pq,G=元=1+q 下×方 e n= 0 VEG-F2={-卫，-q,1 EG-F2 1 v1+p2+q q M= +p2+q ，N= 1+p2+q2 +p2+ K u+p手gq,H=g-2p+0+p rt-s2 21+p2+q2)3

2. 对于显函数 z = z (x , y) 表示的曲面有 r ={x, y,z(x, y)}  {1,0, } {1,0, }, {0,1, } {0,1, } x x y y r z p r z q = = = = ， 2 2 , 1 r L p q = + + 2 2 1 , , 1 E r r p F r r pq G r r q =  = + =  = =  = + x x x y y y 1 2 3 2 2 2 2 { , ,1} 1 0 1 0 1 x y e e e r r p q n p EG F EG F p q q  − − = = − = − + + {0,0, } {0,0, }, xx xx r z r = = {0,0, } {0,0, } yy yy r z t = = 2 2 , 1 s M p q = + + 2 2 1 t N p q = + + 2 2 2 ( ) ( 2 ) ( ) 0. 主曲率公式： EG F k LG MF NE k LN M − − − + + − = N N 2( ) 2 ( ) 2 1 , 2 1 2 2 2 1 2 EG F LG FM NE H k k EG F LN M K k k − − + = + = − − = = {0,0, } {0,0, } {0,0, }, xy xy yx yx r z z r s = = = = 2 3 2(1 ) (1 ) 2 (1 ) , (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 p q q r pqs p t H p q rt s K + + + − + + = + + − =

例6求旋转曲面F={o(u)cosB,p(0)sin0,yw(u)},p(w)>0的 高斯曲率和平均曲率 解 =o'cose,o'sine,w),={-osine,ocos0,0) E=元=p2+w2,F=元乃=0，G=66=02, 2 =p'cos0p'sinθ v'cos0.-W'sin0.g? EG-F2 -osine pcose 0 V02+y2 ="cos,"sine,w",'sin,'cosocos,-osine,0 L-=i-元=py+"p Yo"tw M=i:io=0,L=i:=T 特别，取Oxy平面上最初的曲线为x=0a),有z=W=u E=元f=02+1,F=元6=0，G=66=p2, L=i:= o2+1 M=i-i。=0,N=i-w= Vo2+1

例6 求旋转曲面 的 高斯曲率和平均曲率. 解 2 2 2 ' ' , 0, , E r r F r r G r r =  = + =  = =  = u u u       r u u u u =  { ( )cos , ( )sin , ( )}, ( ) 0       { 'cos , 'sin , '}, u r =      r { sin , cos ,0}  = −    1 2 3 2 2 2 'cos 'sin ' ' ' sin cos 0 u e e e r r n EG F               = = + − − 2 2 { 'cos , 'sin , '} ' '        − − = + { ''cos , ''sin , ''}, uu r =      { 'sin , 'cos ,0}, u r  = −    r { cos , sin ,0}  = − −     2 2 '' ' '' ' , ' ' uu L n r       − + =  = + 0, M n ru =  = 2 2 ' . ' ' L n r    =  = + 特别，取Oxy平面上最初的曲线为 x z =( ) ， 2 . ' 1 N n r   =  = + 2 '' , ' 1 zz L n r   − =  = + 0, M n ru =  = 2 2 ' 1, 0, , E r r F r r G r r =  = + =  = =  = z z z      有 z u u = = ( )