《微分几何》课程教学课件（讲稿）第2章 空间曲面 2.3 曲面的第二基本形式 2.3.2 曲面上曲线的曲率 2.3.3 迪潘（Dupin）指标线

2.3曲面的第二基本形式 2.3.2曲面上曲线的曲率 一、法截面与法截线 二、法曲率 三、梅尼埃(Meusnier)定理 2.3.3迪潘(Dupin)指标线 一、迪潘(Dupin)指标线 二、迪潘(Dupin)指标线的方程 三、曲面上的点的分类

2.3.3 迪潘(Dupin)指标线 2.3.2 曲面上曲线的曲率 2.3 曲面的第二基本形式 一、法截面与法截线 二、法曲率 三、梅尼埃(Meusnier)定理 一、迪潘(Dupin)指标线 二、迪潘(Dupin)指标线的方程 三、曲面上的点的分类 S P ( ) d ( ) C ( ) C0 

2.3.2曲面上曲线的曲率 曲面在已知点邻近的弯曲 性可由它离开曲面的切平面的 快慢来决定，但曲面在不同方 向的弯曲程度是不一样的，即 曲面在不同方向以不同的速度 离开切平面，这一点，我们可 以用曲面上过该点的不同方向 S 的曲线的曲率来研究它在不同 方向的弯曲程度，而这条曲线 又可用一条较为简单的曲线（如 平面曲线)讨论 或者可用一条更简单的曲 线（如平面曲线）来求得，这 条曲线就是法截线

2.3.2 曲面上曲线的曲率 曲面在已知点邻近的弯曲 性可由它离开曲面的切平面的 快慢来决定，但曲面在不同方 向的弯曲程度是不一样的，即 曲面在不同方向以不同的速度 离开切平面，这一点，我们可 以用曲面上过该点的不同方向 的曲线的曲率来研究它在不同 方向的弯曲程度，而这条曲线 又可用一条较为简单的曲线(如 平面曲线)讨论. 或者可用一条更简单的曲 线（如平面曲线）来求得，这 条曲线就是法截线. S P ( ) d ( ) C ( ) C0 

一、法截面与法截线 1.给定类C的曲面S:F=(u,y),(u,)∈G,P∈S. (C):=u(S),=V(S) 或F=(u(s),v(s)=(s) 是曲面上过P的一曲线，曲线在P的切向量与主法向量为心，B 则 #=d=β P (C) 设P点的法向量n与主法向量B的夹角为0，则 B.n cos0= =B.n

一、法截面与法截线 1. 给定类 的曲面S： （C）：u=u(s),v=v(s) 或 是曲面上过 P 的一曲线，曲线在 P 的切向量与主法向量为 2 C r = r(u,v),(u,v)G,PS.   r r(u(s),v(s)) r(s)    = =     , 设 P 点的法向量 与主法向量  的夹角为  , 则  n  P ( ) C   n  S        r = = n n n       =   =    cos 则

并=衣=邱 所以 #.n=k邱n=Kcos0 另一方面 并.n=n: d2rnd2rⅡ ds2 ds2I Kc0s0= ⅡLdu2+2 Mdudy-+Wd2 I Edu2+2Fdudy+Gdy2 注1对曲面上一个给定点及曲面曲线在该点的切方向，上式右 端有确定值. 注2对曲面上一个给定点相切的两条曲线，若它们的主法线有 相同方向，则Θ相同，也相同 注3做通过曲线(C)在P点的切向量与主法线的平面（密切平面）， 得曲面与平面的截线（平面曲线），其与曲线(C)具有相同的切线 与主法线，因此曲率k也相同.曲面曲线可转化为平面曲线讨论

所以 r n =  n =  cos       =   =  = 2 2 2 2 ds n d r ds d r r n n        Ⅱ 另一方面 注1 对曲面上一个给定点及曲面曲线在该点的切方向，上式右 端有确定值. 2 2 2 2 2 2 cos Edu Fdudv Gdv Ldu Mdudv Ndv + + + + =     = Ⅱ (1)        r = = 注2 对曲面上一个给定点相切的两条曲线，若它们的主法线有 相同方向，则Ө相同，k也相同. S ( ) d P ( ) C  n  注3 做通过曲线(C)在P点的切向量与主法线的平面(密切平面)， 得曲面与平面的截线(平面曲线)，其与曲线(C)具有相同的切线 与主法线,因此曲率k也相同.曲面曲线可转化为平面曲线讨论

2.定义给出曲面上一点P及P点的一切方向du:dv,于是方向(d) 和单位法向量以及点P所确定的平面称为曲面在P点沿该方向的 法截面，这个法截面与曲面S的交线(C)称为曲面S在P点沿方 向(d)法截线 (d) S (C n

2.定义 给出曲面上一点 P 及P点的一切方向du:dv ，于是方向(d) 和单位法向量以及点P所确定的平面称为曲面在P点沿该方向的 法截面，这个法截面与曲面S的交线(C0)称为曲面S在P 点沿方 向(d)法截线. S ( ) d P 0 ( ) C n

二、法曲率 设方向(d)所确定的法截线为(Co),它在P点的曲率为k,对 于(Co),它是一条平面曲线，它在P点的主法向量B,为S在P点的法 向量或是它的反向量，即B。=±n，所以0=0或π 由公式(1)得 s0-号即=±号 (2) 其中n和B。的方向相同时取正号，此时(Co)往n的正侧弯曲， .相反时取负号， 反向弯曲 g S (C)(d)=du:dv

二、法曲率 设方向（d）所确定的法截线为 (C0 )，它在 P点的曲率为 k0，对 于(C0 )，它是一条平面曲线，它在P点的主法向量 为S在P点的法 向量或是它的反向量，即 ，所以 由公式（1）得  0  n    0 =   = 0 或  0 0 cos , II II I I    = =  即 (2) 其中 和 的方向相同时取正号，此时(C0 )往 n 的正侧弯曲，  n   0  S P ( ) d  0 ( ) C n S 0 ( ) C P ( ) : d du dv = 0 n . .相反时取负号， . 反向弯曲

定义：曲面在一点沿一方向的法曲率为 K。,法截线向n的正向弯曲， Kn= -K。,法截曲向方的反向弯曲 ⅡLdu2+2 Mdudv-+Ndv2 .Kn= (3) I Edu2+2Fdudy+Gdy2 注：设给定点为P,则L、M、N、E、F、G由P点所定，但此时 du:dv为法截线的方向，并不一定是前面所提到的S上的曲线(C) 的方向，为了求(C)的曲率，只要(C)与(Co)在P点相切就行了，因为它 们此时的切方向相同了. 设曲面上一曲线(C)和法截线(C。)切于P点，则它们有 相同的切方向(d)=du:d,则(1)和(3)得 K=Kcos0 利用这个关系，所求曲面曲线的曲率都可以化为法曲率讨论

定义：曲面在一点沿一方向的法曲率为 0 0 , , . n n n     =   − 法截线向 的正向弯曲, 法截曲向 的反向弯曲 2 2 2 2 2 2 Edu Fdudv Gdv Ldu Mdudv Ndv n + + + + =    = Ⅱ (3) 注：设给定点为P，则L、M、N、E、F、G由P点所定，但此时 du:dv为法截线的方向,并不一定是前面所提到的S上的曲线（C） 的方向,为了求(C)的曲率,只要(C)与(C0 )在P点相切就行了,因为它 们此时的切方向相同了. 利用这个关系，所求曲面曲线的曲率都可以化为法曲率讨论. 设曲面上一曲线（C）和法截线（C0）切于P点，则它们有 相同的切方向（d）= du:dv，则（1）和（3）得 n = cos

三、梅尼埃(Meusnier)定理 设R=1/k,即R为曲线(C)的曲率半径， R,=1/k,称R为曲线(Co)的曲率半径，也称为法曲率半径 则公式Kn=K cos0,可写为R=R,cos8 由于R在(C)的主法线上，即在(C)的密切平面上， Rn在(Co) (Co) 故这个公式的几何意义为：R为R在(C)的密切 平面上的投影，由于它们的端点为曲率中心C和法 曲率中心C,因此几何意义可叙述成： 梅尼埃定理：曲面曲线(C)在给定点P的曲率中心C就是与曲线 (C)具有共同切线的法截线(Co)上同一个点P的曲率中心C在曲 线(C)的密切平面上的投影

三、梅尼埃(Meusnier)定理 设 R = 1/k，即 R 为曲线(C) 的曲率半径 ， Rn = 1/kn ，称R为曲线(C0 )的曲率半径，也称为法曲率半径. 则公式 n = cos ， 可写为 R = Rn cos 梅尼埃定理：曲面曲线(C)在给定点P的曲率中心C就是与曲线 (C) 具有共同切线的法截线(C0 )上同一个点P的曲率中心C0在曲 线(C)的密切平面上的投影. 由于R 在(C)的主法线上,即在(C)的密切平面上， Rn 在(C0 ) . , (C0 ) . 故这个公式的几何意义为：R为Rn在(C)的密切 平面上的投影,由于它们的端点为曲率中心C和法 曲率中心C0 ,因此几何意义可叙述成： S P ( ) d ( ) C C 0 ( ) C C0 R R n

例：若给出的曲面为球面，球面的切平面垂直于过切点的半径 这个半径即为球面的法线.所以球面的所有法线都过球心，因 此在球面的每一点处所取的法截面必过球心 法截线(Co)都是球面的大圆，其曲率中心C为该球的球心 取球面的任意平面截线为曲线 (C),所得到的为圆，因此(C)的曲 率中心为该圆的圆心C 法线 C 从(Co)的曲率中心C(球心做圆 (C)所在平面的垂线，则垂足为圆 (C)的圆心，也就是曲线(C)的曲 率中心C

例： 若给出的曲面为球面，球面的切平面垂直于过切点的半径 这个半径即为球面的法线.所以球面的所有法线都过球心，因 此在球面的每一点处所取的法截面必过球心. 法截线 (C0)都是球面的大圆，其曲率中心C0为该球的球心. 取球面的任意平面截线为曲线 (C),所得到的为圆,因此(C)的曲 率中心为该圆的圆心C. 从(C0)的曲率中心C0(球心做圆 (C)所在平面的垂线,则垂足为圆 (C)的圆心，也就是曲线(C)的曲 率中心C. 0 ( ) C C0 C ( ) C 法线

习题5已知平面π到单位球面S的中心距离为d(0<d<1),求 π与S交线的曲率与法曲率 解设π与S交线为C),则(C)的半径为V1-dP,其曲率为 k= v-d 又由于(C)的主法向量与球面的法向量的夹角余弦 cos0=±V1-d2 法线 所以(C)的法曲率为 Kn=Kc0Sθ

解 2 1 , 1 k d = − 习题5 已知平面  到单位球面 S 的中心距离为 d d (0 1),   求  与 S 交线的曲率与法曲率. 设  与 S 交线为 ( ) C , 又由于 ( ) C 的主法向量与球面的法向量的夹角余弦 d O• C • ( ) C 法线 2 1− d  则 ( ) C 的半径为 2 1 , − d 其曲率为  2 cos 1 ,  =  − d n = cos 所以(C)的法曲率为 ( ) 2 2 1 1 = 1. 1 d d =   −  −